Discussion:Équation du troisième degré/Exercices/Exercices sur l'équation du troisième degré
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Exercice 1-3
Soit P un polynôme du troisième degré, P' (de degré 2) son polynôme dérivé, et x1 une racine de P.
a) Montrer que x1 est racine multiple de P si et seulement si x1 est racine de P', et que x1 est même racine triple de P si et seulement si x1 est même racine double P'.
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Il est faux de dire que x1 est racine multiple de P si et seulement si x1 est racine de P'.
Il faut écrire que x1 est racine multiple de P seulement si x1 est racine de P'.
En effet (démonstration par l’absurde) si X1 et X2 sont racines de P’ (qui est de second degré), et si cela entraîne que chacune des ses racines sont racines doubles de P, cela entraîne que P est de degré 4 alors que par hypothèse il est seulement de degré 3.
Autre démonstration : Si X1 est racine de P’, le polynôme P s’écrit sous la forme P=(X-X1).(X-Y0)+k. Si k est différent de 0, et il n’a aucune raison d’être égal à 0, alors X1 n’est pas racine de P.
Le même raisonnement montre que la deuxième partie de la phrase : que x1 est même racine triple de P si et seulement si x1 est même racine double P'
devrait être corrigée et écrite : que x1 est même racine triple de P seulement si x1 est même racine double de P'. Hnovejossserand (discuter) 25 mars 2023 à 16:09 (UTC)