Conduction thermique/Analogie électrique

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Les équations

Notions équivalentes

Électrique	Thermique
Vecteur densité de courant $\overrightarrow{j}$	Vecteur densité de flux thermique $\overrightarrow{j_{th}}$
Intensité $I=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{j}.\overrightarrow{\mathrm{d}S}$	Flux $\varphi =\underset{S}{\iint }\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{\mathrm{d}S}$
Potentiel électrique $V$	Température $T$
Loi d'Ohm locale $\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}=-\gamma \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V$	Loi de Fourier $\overrightarrow{j_{th}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T$
Loi d'Ohm $U=V_1-V_2=RI$	Loi de Fourier intégrale $\mathrm{\Delta }T=T_1-T_2=R_{th}\varphi$
Résistance électrique $R$	Résistance thermique $R_{th}$
Conservation de la charge $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{j}+\frac{\partial {\rho }_{charge}}{\partial t}=0$	Conservation de la densité de flux $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{j_{th}}+\rho c_v\frac{\partial T}{\partial t}=0$

Les circuits

Analogie

L'étude d'un circuit électrique en régime stationnaire est analogue à celle de "circuit thermique" en régime stationnaire et sans puissance dégagée.

Ainsi avec les équivalences du tableau précédent, on retrouve la loi des nœuds, la loi des mailles et les résistances équivalentes.

Association en série $R_{eq}=R_{th1}+\mathrm{...}+R_{thn}$

Association en parallèle cas thermique $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{th1}}+\mathrm{...}+\frac{1}{R_{thn}}$

Associaton en parallèle cas électrique

Tel l'orientation d'un circuit électrique qui définit le sens de $I$, on doit alors orienter ce circuit pour définir le sens de $\varphi$.

Dans le cas unidimensionnel on a de plus que $R=\frac{L}{\gamma S}$et $R_{th}=\frac{L}{\lambda S}$où L est la longueur du résistor.

Démonstrations des relations

Conservation de la charge

Dans le cas unidimensionnel, on reprend le calcul de l'équation de la chaleur

$m\ast c_v\frac{\partial T}{\partial t}=-S\frac{\partial j_{th}}{\partial x}\mathrm{d}x+p$ et $\partial V=S\mathrm{d}x=\frac{m}{\rho }$

$\rho c_v\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial j_{th}}{\partial x}+\frac{p}{\partial V}$

Donc avec p nul et l’égalité $\frac{\partial j_{th}}{\partial x}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{j_{th}}$ en une seule dimension,

On généralise en $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{j_{th}}+\rho c_v\frac{\partial T}{\partial t}=0$

Expression de la résistance thermique

On se place dans le cas où p est nul et en régime stationnaire donc la température ne dépend plus du temps.

On reprend l'étude en régime stationnaire unidimensionnelle, et donc $T(x)=Ax+B$

Par définition $R_{th}=\frac{\mathrm{\Delta }T}{\varphi }=\frac{T_1-T_2}{\varphi }=\frac{A(x_1-x_2)}{\varphi }=-\frac{A\ast L}{\varphi }$ en convention récepteur $T_1>T_2$et $x_1<x_2$.

De plus $\varphi =\underset{S}{\iint }\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{dS}=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}S$ car $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{j_{th}}=0$ ce qui signifie en une seule dimension que $j_{th}$est constante selon x, on peut donc le sortir de l'intégrale.

D'après l'expression de T , $\frac{\partial T}{\partial x}=A$ et finalement $R_{th}=\frac{L}{\lambda S}$.

P.S. on prendra garde à vérifier que le signe de $R_{th}$ est toujours positif. On aurait pu également intégrer par rapport à x, $\frac{\varphi }{S}$.

Expression de la résistance de la loi de Newton

En se plaçant dans le même cas que précédemment,

On a $\varphi =h(T(x_0)-T_{ext})S=hS\mathrm{\Delta }T$

Et donc immédiatement $R_{th}=\frac{1}{hS}$.