Leçons de niveau 14

Cinématique du point/Systèmes de repérage d'un point

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Systèmes de repérage d'un point
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Chapitre no 2
Leçon : Cinématique du point
Chap. préc. :Notions fondamentales en cinématique
Chap. suiv. :Vitesse et accélération
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Le but de ce chapitre est de lister les différentes façons possibles de repérer un point dans l’espace.

Objectifs et premières définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soit un point se déplaçant dans l'espace au cours du temps. On se donne un autre point de l'espace, noté , qu'on appelle origine de l'espace. On appelle vecteur position le vecteur .

L'idée est de trouver un moyen de décrire le vecteur position. En vérité, il existe de nombreux moyens de faire cela, mais chaque système est adapté à un type de mouvement particulier. Cela fait partie des compétences que doit acquérir l'étudiant que de savoir, en fonction du problème donné, choisir un système de coordonnées adapté.

Donnons avant une étude précise des différents systèmes de coordonnées quelques définitions générales.

  • En physique (en tout cas en mécanique classique), on se place dans un espace euclidien à trois dimensions. Cela signifie que tout vecteur de l'espace peut s'écrire sous la forme , où sont trois nombres réels quelconques (qui peuvent éventuellement être négatifs), et forme une base orthonormée de l'espace, c'est-à-dire que ce sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme égale à 1
  • De la même façon, tout point peut être décrit à l'aide de trois coordonnées, qui caractérisent ses trois degrés de liberté.
  • Quelque chose qui sera très intéressant pour la suite est la notion de grandeur élémentaire. Considérons une grandeur physique quelconque (qui peut être scalaire ou vectorielle). On appelle grandeur élémentaire (ou différentielle) de la grandeur . Si , alors . Aussi la différentielle d'une grandeur s'exprime aussi de cette façon : . Cette notion caractérise l'accroissement infinitésimal de la fonction . Pour plus de détails sur cette notion fondamentale, se rapporter aux Outils mathématiques pour la cinématique

Système de coordonnées cartésien[modifier | modifier le wikicode]

Système de coordonnées cartésiens

On considère trois vecteurs unitaires fixes , , et deux à deux orthogonaux (cf figure), définissant alors trois axes.

On peut alors décrire le vecteur position comme

Ce système de coordonnées est particulièrement adapté à la description de mouvements rectilignes : on place alors l'un des vecteurs , , sur l'axe du mouvement de l'objet, et les deux autres orthogonalement.

Un déplacement élémentaire s'écrit, dans ce système,

Système de coordonnées polaire[modifier | modifier le wikicode]

Ce système est un système de représentation en deux dimensions seulement. En cela, il est tout particulièrement adapté aux mouvements plans, mais surtout aux mouvements circulaires.

Le principe est de représenter la position du point M par le couple (r, teta) où r est à distance de M à l'origine du repère O et teta l'angle (OM,OX).

Système de coordonnées cylindrique[modifier | modifier le wikicode]

Système de coordonnées sphériques[modifier | modifier le wikicode]

Système de coordonnées cylindriques[modifier | modifier le wikicode]

Système de coordonnées de Frenet[modifier | modifier le wikicode]