Cinématique (débutant)/Mouvement de rotation

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Le cylindre d'un treuil, le rotor d'un moteur sont des exemples de solides assujettis à tourner autour d'un axe (ou centre de rotation): des mouvements de rotation d'axe fixe.

Définitions et notations du mouvement de rotation d'axe fixe

Un solide a un mouvement de rotation d'axe fixe si les trajectoires de tous ses points sont des cercles de rayons différents et si tous ces cercles ont le même centre.

Sur cet exemple, le solide en rotation est représenté par le polygone. M est un point quelconque de ce solide.

O est le centre de rotation de ce solide. Sa vitesse est nulle.

Le vecteur n représente la normale de la trajectoire du point M, le vecteur t la tangente de cette trajectoire.

Le point $M_{0}$ est la position initiale du point M.

$R_{0}(O,x_{0},y_{0})$: Repère fixe. Ce repère ne varie pas au cours du temps; il sert à repérer les différentes positions du point M au cours du temps.

La position du point M est donc une fonction du temps.

$\theta$ en radians: angle entre $(O;x_{0})$ et $n$. C'est la position angulaire du solide à un instant quelconque t.

Dans le cas d'un mouvement de rotation, trois unités sont utilisées pour positionner le système par rapport à $R_{0}$:

• Le tour, noté tr.
• Le radian, noté rad.
• le degré, noté °.

Relation entre les unités

1 tr = 2$\pi$ rad = 360°.

Grandeurs du mouvement de rotation d'axe fixe

• La position angulaire notée $\theta$. C'est un angle qui repère le solide par rapport à sa position initiale. On choisit son unité: le tour (tr) ou le radian (rad).
• La vitesse angulaire ou fréquence de rotation notée ω ou N. C'est la dérivée de la position angulaire. Elle a deux unités possibles: les radians par seconde (rad.s$^{-1}$) ou les tours par minutes (tr.min$^{-1}$)
• L'accélération $\gamma$. Dérivée de la vitesse ou fréquence de rotation et dérivée seconde de la position angulaire, elle est en radian par seconde carrée (rad.s${-2}$) ou en tours par minute carrée (jamais utilisé).

La vitesse angulaire

Sur le schéma du haut de la page, le point M a une vitesse angulaire égale à ${\frac {d\theta }{dt}}$ ainsi que tous les autres points de ce solide.

Propriété

A un instant quelconque, tous les points d'un solide ayant un mouvement de rotation ont la même vitesse angulaire ω.

Attention: ce n'est absolument pas le cas pour la vitesse tangentielle.

Conversion de la fréquence de rotation en vitesse angulaire et inversement

$\omega ={\frac {\pi \times N}{30}}$

$N={\frac {30\times \omega }{\pi }}$

La vitesse tangentielle

Le point M du schéma du début a aussi une vitesse tangentielle qu'on note $V_{M/R_{0}}$

Propriétés

Tous les points d'un solide en rotation n'ont pas la même vitesse tangentielle

La vitesse tangentielle d'un point est tangente à la trajectoire de ce point (donc on peut retrouver le centre de rotation d'un solide en rotation en traçant les perpendiculaires de deux de ses vecteurs vitesse.

$V_{M/R_{0}}=\omega *r$

• $V_{M/R_{0}}$ en m/s
• ω en rad/s
• $r=OM$ : distance entre le centre de rotation et le point M en m.

Remarque: Si $r=0$ (M est le centre de rotation): $V_{M/R_{0}}=0$

La vitesse d'un centre de rotation est nulle dans le référentiel où on détermine ce centre de rotation.

Graphiquement

Pour tracer le vecteur vitesse d'un point d'un solide en rotation:

• On définit une échelle (par exemple 1 cm ↔ 5 m/s)
• On trace la direction du vecteur vitesse
• On trace ensuite la norme du vecteur dans le bon sens.

Le mouvement circulaire uniforme ou MCU

Caractéristiques

Accélération angulaire $\gamma$ nulle.

Vitesse angulaire ω constante.

Équations de mouvement

$\theta (t)=\omega \times (t-t_{0})+\theta _{0}$

$\omega (t)=constante$

$\gamma (t)=0$

• $\theta$(t): position du point M à l'instant t en radians $(rad)$.
• $t_{0}$: instant initial (0 par défaut) en secondes $(s)$.
• $\theta _{0}$:position initiale du système en radians $(rad)$.
• ω(t): vitesse du point M à l'instant t en radians par seconde $(rad.s^{-1})$.
• $\gamma$(t): accélération du point M à l'instant t en radians par seconde carrée $(rad.s^{-2})$.

Allure des représentations graphiques

Mouvement circulaire uniformément varié

Caractéristiques

accélération angulaire $\gamma$ constante.

Équations de mouvement

$\theta (t)={\frac {1}{2}}\times \gamma \times (t-t_{0})^{2}+\omega _{0}\times (t-t_{0})+\theta _{0}$

$\omega (t)=\gamma \times (t-t_{0})+\omega _{0}$

$\gamma (t)=constante$

• $t_{0}$: instant initial (0 par défaut) en secondes $(s)$.
• $\theta _{0}$:position initiale du système en radians $(rad)$.
• $\omega _{0}$ : vitesse initiale du point M en radians par seconde $(rad.s^{-1})$.
• $\theta$(t): position du point M à l'instant t en radians $(rad)$.
• ω(t): vitesse du point M à l'instant t en radians par seconde $(rad.s^{-1})$.
• $\gamma$(t): accélération du point M à l'instant t en radians par seconde carrée $(rad.s^{-2})$.

Représentations graphiques