Champ électrostatique, potentiel/Théorème de Gauss

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Flux du champ électrostatique

Flux élémentaire

Définition

Soient un champ électrostatique ${\vec {E}}$ quelconque régnant dans l'espace et un élément infinitésimal de surface dS placé en M, orienté par un vecteur normal ${\vec {n}}$. On définit le flux élémentaire dФ de ${\vec {E}}$ à travers dS par : $\mathrm {d} \Phi ={\vec {E}}(M)\,{\vec {n}}\,{\rm {d}}S$

Flux à travers une surface

Définition

Soit une surface Σ. Le flux $\Phi$ de ${\vec {E}}$ à travers $\Sigma$ vaut :

• si Σ est ouverte : $\Phi =\int _{\Sigma }{\vec {E}}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}$
• si Σ est fermée : $\Phi =\oint _{\Sigma }{\vec {E}}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}$

Théorème de Gauss

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème de Gauss

Pour une surface $\Sigma$ fermée (orientée vers l'extérieur) enfermant une charge Q_int dans le vide, on a l'égalité suivante : $\iint _{\Sigma }{\vec {E}}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Cette section nécessite des connaissances sur les équations de Maxwell. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Soit V le volume intérieur à la surface fermée Σ. La formule de Green-Ostrogradsky donne :

${\begin{aligned}\iint _{\Sigma }{\vec {E}}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}&=\iiint _{V}\mathrm {div} ({\vec {E}})~{\rm {d}}\tau \\&=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}~{\rm {d}}\tau \\&={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}$

Fin de la démonstration

Théorème de l'extremum

Début d’un théorème

Théorème de l'extremum

Le potentiel électrostatique n'admet pas d'extremum en-dehors des points où sont placés les charges.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Supposons avoir un maximum de potentiel en un point M en lequel il n'y a pas de charge.

Comme ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$, ${\vec {E}}$ est dans le sens des potentiels décroissants donc il existe des lignes de champ qui partent de M.

Si l’on prend une surface $\Sigma$ entourant M infiniment proche de M, $\Sigma$ est traversée par des lignes de champ sortantes, donc $\oint _{\Sigma }{\vec {E}}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\not =0$.

Donc, d’après le théorème de Gauss il existe une charge à l'intérieur de $\Sigma$, ce qui est absurde.

Fin de la démonstration