Champ électrostatique, potentiel/Potentiel

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Potentiel électrostatique créé par une distribution de charges discrète dans le vide

On se place dans un référentiel galiléen.

Énergie potentielle électrostatique

On considère une charge q₁ en un point O fixe, générant dans l'espace un champ électrostatique ${\vec {E}}$.

Une charge q₂, soumise à une force électrostatique ${\vec {F}}$ due à ${\vec {E}}$, se déplace alors d'un point A (on pose r_A=OA) à un point B (on pose r_B=OB).

La force de Coulomb est une force conservative, tout comme l'interaction gravitationnelle. Le travail de ${\vec {F}}$ entre A et B vaut donc $W_{{\vec {F}},A\rightarrow B}=-\int _{A}^{B}{\vec {F}}.\mathrm {d} {\vec {l}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{A}}}-{\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{B}}}$

Définition

On pose $E_{pe}(r)={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}+c_{1}$ l'énergie potentielle électrostatique d'une charge q₂ placée à la distance r d'une charge q₁. Elle est définie à une constante c₁ près.

On obtient alors $W_{{\vec {F}},A\rightarrow B}=-\Delta E_{pe}$, ce qui traduit bien le côté conservatif de ${\vec {F}}$.

Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle dans le vide

On définit alors le potentiel électrostatique.

Définition

Soit une particule de charge q₁ immobile placée en O. On dit que le potentiel électrostatique créé par q₁ en un point M vaut $V_{O}(M)={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {OM}}}}+c$, où c est une constante.

c=0 pour avoir V_O nul à l'infini.

Propriété

L'énergie potentielle électrostatique d'une charge q₂ placée en un point M où le potentiel vaut V_O(M) est alors $E_{pe}=q_{2}~V_{O}(M)$

Travail de la force électrostatique

Propriété

Le travail de la force électrostatique au cours du déplacement de q₂ entre deux points A et B vaut $W_{{\vec {F}},A\rightarrow B}=q_{2}~(V_{O}(A)-V_{O}(B))$

Généralisation à n charges ponctuelles dans le vide

Propriété

Tout comme le champ électrostatique, le potentiel électrostatique obéit au principe de superposition. Soient n particules A₁, A₂, ..., A_n, immobiles dans l'espace, de charges respectives q₁, q₂, ... q_n.

Le potentiel électrostatique créé par cette distribution est la somme des potentiels électrostatiques créés par chacune des particules : $V(M)=V_{A_{1}}(M)+V_{A_{2}}(M)+\cdots +V_{A_{n}}(M)$.

Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges fixes dans le vide

Le principe de superposition, applicable au potentiel V, permet également de calculer le potentiel électrostatique créé par une distribution continue.

Distribution linéique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties sur un arc Γ telle qu'en un point courant P de Γ, la densité de charge linéique vaille λ(P). Le potentiel électrostatique en un point M vaut alors $V(M)=\int _{\Gamma }{\frac {\lambda (P)}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {PM}}}}\,\mathrm {d} l$

Distribution surfacique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties sur une surface Σ telle qu'en un point courant P de Σ, la densité de charge surfacique vaille σ(P). Le potentiel électrostatique en un point M vaut alors $V(M)=\iint _{\Sigma }{\frac {\sigma (P)}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {PM}}}}\,\mathrm {d} ^{2}S$

Distribution volumique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties dans un volume V telle qu'en un point courant P de V, la densité de charge volumique vale ρ(P). Le potentiel électrostatique en un point M vaut alors $V(M)=\iiint _{V}{\frac {\rho (P)}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {PM}}}}\,\mathrm {d} ^{3}\tau$

Relations avec le champ électrostatique

Circulation du champ électrostatique

• $\int _{A}^{B}{\vec {E}}.\mathrm {d} {\vec {l}}=V(A)-V(B)$
• Si ${\mathcal {C}}$ est un contour fermé, alors $\oint _{\mathcal {C}}{\vec {E}}.\mathrm {d} {\vec {l}}=0$

Propriété

Dans le cadre de l’électrostatique : ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,V$

Démonstration

Pour un déplacement élémentaire : ${\vec {E}}.\mathrm {d} {\vec {l}}=-\mathrm {d} V$.

Or, V est une fonction d'état donc $\mathrm {d} V={\frac {\partial V}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial V}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial V}{\partial z}}\mathrm {d} z$

Donc ${\vec {E}}.\mathrm {d} {\vec {l}}=-{\vec {\nabla }}V.\mathrm {d} {\vec {l}}$

 

Topographie du potentiel

Surface équipotentielle

Définition

Une surface équipotentielle est une surface de l'espace sur laquelle le potentiel est constant.

Propriété

En tout point d'une surface équipotentielle, ${\vec {E}}$ est normal à la surface équipotentielle.

Symétries du potentiel

Propriété

Soient $\Pi ~$ un plan de l'espace, M un point de l'espace et M' le symétrique de M par rapport à $\Pi ~$

• Si П est un plan de symétrie de la distribution, $V(M)=V(M')~$
• Si П* est un plan d'antisymétrie de la distribution, $V(M)=-V(M')~$
• Si la distribution est invariante par translation suivant un axe, z par exemple, alors V(x,y,z)=V(x,y)
• Si la distribution est invariante par rotation autour d'un axe θ, alors V(r,θ,z)=V(r,z).