Champ électrostatique, potentiel/Exercices/Analogie gravitationnelle

Discontinuité de Bullard

Soit une Terre hypothétique, à symétrie sphérique de rayon R, sans pivotement : on observe que le champ de gravitation g(r) varie à l'intérieur selon la loi suivante :

• pour $0<r<R/2,g(r)\sim {}r$ ;
• pour $R/2<r<R,g(r)=g_{0}$ est constant.

La masse volumique moyenne étant $d=5.5kg/L$ , déterminer la répartition de masse.

On pourra ensuite calculer $C={\frac {2}{5}}MR^{2}k$

Solution

D'après le raisonnement de l'exercice précédent, M(R)= M et g(R) = go, on aura :

g(r)= go.M(r)/M .(R/r)^2.

Connaissant g(r), on en déduit M(r) donc la répartition de masse.

En particulier, la continuité de M(r) entraîne celle de g(r) et donc :

M(R/2) = 1/4 M, soit un noyau deux fois plus dense.

Finir : si la boule était homogène, à r=R/2 , M(R/2) vaudrait 1/8 M. En fait M(R/2) = 1/4 M ; donc d(intérieur)= cste = 2d = 11kg/L.

Hors noyau, la fonction d(r) décroît comme d1 R/2r, allant de d1 à d1/2 en surface ; et la masse_hors-noyau vaut :

3/4 M = d1 .$\int _{R/2}^{R}$R/2r * 4Pi r^2.dr = 9/16 d1/d . M ;

soit d1 = 4/3 d = 2/3. 11kg/L =7.33kg/L et en surface d(R) = 1/3 . 11 kg/L = 3.67 kg/L

Conclusion : dans ce modèle à une couche ( noyau + manteau), la masse volumique du noyau est 2d ; puis discontinuité, dite de Bullard, de 2d à 4/3d et décroissance en R/r dans le manteau jusqu'à 2/3 d .

Ce modèle évidemment trop schématique donne néanmoins l'essentiel de l'argumentation de Bullard. Quelques calculs d'intégration donnent pour l'inertie au pivotement C = 2/5 MR^2 .k avec k<1 , certes, puisque la masse est concentrée dans le noyau : k = 27/32 ; cette valeur n'est évidemment que la valeur théorique de cet énoncé.

En fait Bullard pour construire le modèle de Terre interne a dû satisfaire à toutes les contraintes expérimentales connues.

Aujourd'hui,grâce à la gravimétrie spatiale ( satellite GRACE, puis bientôt CHAMP), ces contraintes seront de plus en plus resserrées, et bien plus, on pourra détecter la non-symétrie sphérique (et même non de révolution) de la Terre réelle : ceci est l’objet de recherches actuelles.