Champ électrostatique, potentiel/Analogie avec le champ de gravitation

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Grandeurs analogues

Début d’un principe

Principe de l'analogie

La force d'interaction gravitationnelle, tout comme la force d'interaction électrostatique, est une force conservative. Elles sont toutes deux gradient d'une énergie potentielle. On peut alors adapter tous les calculs de champ et de potentiel qu'on vient de faire au cas d'une distribution de masses pour calculer le champ et le potentiel gravitationnels en un point de l'espace, ainsi que le théorème de Gauss.

Fin du principe

​ ${\begin{array}{|c|c|}{\textrm {Electrostatique}}&{\textrm {Gravitation}}\\\hline \displaystyle {{\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}}&\displaystyle {{\vec {F}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}}\\\hline q&m\\{\vec {E}}&{\vec {\mathcal {G}}}\\{\vec {F}}=q{\vec {E}}&{\vec {F}}=m{\vec {\mathcal {G}}}\\\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon _{0}}}&-4\pi G\\\displaystyle {V={\frac {E_{pe}}{q}}}&\displaystyle {\frac {E_{p}}{m}}\\\displaystyle {\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {E}}(M).{\overrightarrow {d^{2}S}}={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}}&\displaystyle {\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {\mathcal {G}}}(M).{\overrightarrow {d^{2}S}}=-4\pi Gm_{int}}\\\end{array}}$

Faites ces exercices : Analogie gravitationnelle.

Exemple : Boule homogène

Début d’un théorème

Boule homogène

On dispose d'une boule de centre O et de rayon R, homogène, de masse volumique $\rho ~$. Le champ gravitationnel engendré par cette boule en un point M de l'espace tel que OM=r vaut : ${\begin{cases}\displaystyle {{\vec {\mathcal {G}}}(r)={\frac {-4G\pi \rho r}{3}}{\vec {u}}_{r}}~{\textrm {si}}~r\leq R\\\displaystyle {{\vec {\mathcal {G}}}(r)={\frac {-4G\pi R^{3}\rho }{3r^{2}}}{\vec {u}}_{r}}~{\textrm {si}}~r\geq R\end{cases}}$

Remarque : Dans le cas $r\geq R$, le résultat est le même que si l’on disposait d'une masse ponctuelle de masse $m_{tot}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho$ placée en O.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

On raisonne exactement comme pour une boule chargée électriquement : on utilise le théorème de Gauss.

• Il existe deux plans orthogonaux contenant (OM) qui sont des plans de symétrie de la distribution donc ${\vec {\mathcal {G}}}(M)={\mathcal {G}}(M){\vec {u}}_{r}$
• La distribution est invariante par toute rotation, donc ${\vec {\mathcal {G}}}(M)={\mathcal {G}}(M){\vec {u}}_{r}$
• On choisit pour surface de Gauss une sphère $\Sigma$, de centre O et de rayon r (en vert sur le dessin). Il apparaît deux cas dans la résolution :
  • Premier cas : $r\geq R$ :
    $-4\pi Gm_{int}=-4\pi G\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)=\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {\mathcal {G}}}(M).{\overrightarrow {d^{2}S}}={\mathcal {G}}(r)~\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {u}}_{r}.{\overrightarrow {d^{2}S}}={\mathcal {G}}(r)~4\pi r^{2}$
    Donc ${\vec {\mathcal {G}}}(r)={\frac {-4G\pi R^{3}\rho }{3r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$
  • Deuxième cas : $r\leq R$ :
    $-4\pi Gm_{int}=-4\pi G\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)=\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {\mathcal {G}}}(M).{\overrightarrow {d^{2}S}}={\mathcal {G}}(r)~\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {u}}_{r}.{\overrightarrow {d^{2}S}}={\mathcal {G}}(r)~4\pi r^{2}$
    Or $m_{int}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho$
    Donc ${\vec {\mathcal {G}}}(r)=\displaystyle {{\frac {-4G\pi \rho r}{3}}{\vec {u}}_{r}}$

Fin de la démonstration