Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les calculs algébriques

Exercice 1-1

1°  Calculez $\left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{4}$.

2°  Déterminez les nombres complexes $z$ tels que

$z^{4}={\frac {73}{16}}-{\frac {11}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

Solution

1. $\left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{2}=-{\frac {11}{4}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ et $\left(-{\frac {11}{4}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{2}={\frac {73}{16}}-{\frac {11}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.
2. Les quatre solutions sont donc $\pm \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$ et $\pm \left({\sqrt {3}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)$.

 

Exercice 1-2

Le conjugué d'un élément $z$ de $\mathbb {C}$ est noté ${\bar {z}}$. Soit E l'ensemble des éléments $u$ de $\mathbb {C}$ tels que :

$u+{\bar {u}}+u{\bar {u}}=0$.

Représenter l'ensemble des images des éléments de E dans le plan complexe.

Solution

$u+{\bar {u}}+u{\bar {u}}=|1+u|^{2}-1$ donc E est le cercle de rayon $1$ dont le centre a pour affixe $-1$ (il passe par l'origine).

 

Exercice 1-3

Soit $f(z)={\frac {z^{2}+z+1}{z^{3}+z^{2}+1}}$.

Calculer $f\left(1+\mathrm {i} \right)$ et $f(1-\mathrm {i} )$.

Solution

$\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}=2\mathrm {i}$ et $\left(1+\mathrm {i} \right)^{3}=2\mathrm {i} -2$ donc

$f\left(1+\mathrm {i} \right)={\frac {2+3\mathrm {i} }{-1+4\mathrm {i} }}={\frac {\left(2+3\mathrm {i} \right)\left(-1-4\mathrm {i} \right)}{17}}={\frac {10-11\mathrm {i} }{17}}$

donc $f\left(1-\mathrm {i} \right)={\frac {10+11\mathrm {i} }{17}}$.

 

Exercice 1-4

Soient $a,b\in \mathbb {Z}$ et $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Trouver un couple $\left(x,y\right)\in \mathbb {Z} ^{2}$ tel que

$x^{2}+y^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{n}$.

Solution

On peut choisir par exemple $x+\mathrm {i} y=\left(a+\mathrm {i} b\right)^{n}$, c'est-à-dire $x=\sum {\binom {n}{2k}}(-1)^{k}a^{n-2k}b^{2k}$ et $y=\sum {\binom {n}{2k+1}}(-1)^{k}a^{n-2k-1}b^{2k+1}$.

 

Exercice 1-5

Calculez $\sum _{k=0}^{n-1}\mathrm {i} ^{k}$.

Solution

$\sum _{k=0}^{n-1}\mathrm {i} ^{k}={\frac {1-\mathrm {i} ^{n}}{1-\mathrm {i} }}={\begin{cases}0&{\text{si }}n\equiv 0{\bmod {4}}\\1&{\text{si }}n\equiv 1{\bmod {4}}\\1+\mathrm {i} &{\text{si }}n\equiv 2{\bmod {4}}\\\mathrm {i} &{\text{si }}n\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}$

 

Exercice 1-6

Donnez la forme cartésienne $a+\mathrm {i} b$ des nombres qui suivent, ainsi que de leurs inverses :

$(1+\mathrm {i} )^{2}$, $(1-\mathrm {i} )^{2}$, $(2+\mathrm {i} )^{2}$, $(2-\mathrm {i} )^{2}$, $(3+4\mathrm {i} )^{2}$, $(3-4\mathrm {i} )^{2}$, $(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}$, $(1-\mathrm {i} )(1+\mathrm {i} )^{-1}$,

$(3+4\mathrm {i} )(1+\mathrm {i} )^{-1}$, $3\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$, $(3+4\mathrm {i} )^{2}(4+3\mathrm {i} )^{-2}$, $(3-4\mathrm {i} )^{2}(4-3\mathrm {i} )^{-2}$, $(3-4\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}$.

Solution

• $(1+\mathrm {i} )^{2}=2\mathrm {i}$, ${\frac {1}{2\mathrm {i} }}=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}$.
• $(1-\mathrm {i} )^{2}=-2\mathrm {i}$, ${\frac {1}{-2\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{2}}$.
• $(2+\mathrm {i} )^{2}=3+4\mathrm {i}$, ${\frac {1}{3+4\mathrm {i} }}={\frac {3-4\mathrm {i} }{25}}$.
• $(2-\mathrm {i} )^{2}=3-4\mathrm {i}$, ${\frac {1}{3-4\mathrm {i} }}={\frac {3+4\mathrm {i} }{25}}$.
• $(3+4\mathrm {i} )^{2}=-7+24\mathrm {i}$, ${\frac {1}{-7+24\mathrm {i} }}={\frac {-7-24\mathrm {i} }{625}}$.
• $(3-4\mathrm {i} )^{2}=-7-24\mathrm {i}$, ${\frac {1}{-7-24\mathrm {i} }}={\frac {-7+24\mathrm {i} }{625}}$.
• $(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}={\frac {(1+\mathrm {i} )^{2}}{2}}=\mathrm {i}$, ${\frac {1}{\mathrm {i} }}=-\mathrm {i}$.
• $(1-\mathrm {i} )(1+\mathrm {i} )^{-1}=-\mathrm {i}$, ${\frac {1}{-\mathrm {i} }}=\mathrm {i}$.
• $(3+4\mathrm {i} )(1+\mathrm {i} )^{-1}=(3+4\mathrm {i} ){\frac {1-\mathrm {i} }{2}}={\frac {7+\mathrm {i} }{2}}$, ${\frac {2}{7+\mathrm {i} }}={\frac {7-\mathrm {i} }{25}}$.
• $3\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}={\frac {3}{2}}(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})$, ${\frac {1}{3}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}={\frac {1}{6}}(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}})$.
• $(3+4\mathrm {i} )^{2}(4+3\mathrm {i} )^{-2}=(-7+24\mathrm {i} )\mathrm {i} ^{-2}(3-4\mathrm {i} )^{-2}=(-7+24\mathrm {i} ){\frac {7-24\mathrm {i} }{625}}={\frac {527+336\mathrm {i} }{625}}$, ${\frac {625}{527+336\mathrm {i} }}={\frac {527-336\mathrm {i} }{625}}$.
• $(3-4\mathrm {i} )^{2}(4-3\mathrm {i} )^{-2}={\frac {527-336\mathrm {i} }{625}}$, ${\frac {625}{527-336\mathrm {i} }}={\frac {527+336\mathrm {i} }{625}}$.
• $(3-4\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}={\frac {7-\mathrm {i} }{2}}$, ${\frac {2}{7-\mathrm {i} }}={\frac {7+\mathrm {i} }{25}}$.

 

Exercice 1-7

Donnez la forme polaire $r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ des nombres suivants, de leurs conjugués et de leurs inverses :

$1+\mathrm {i}$, $(1+\mathrm {i} )^{2}$, $(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}$, $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$, ${\sqrt {3}}+\mathrm {i}$,

$(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(1+\mathrm {i} )^{-1}$, $(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{-1}$, $-{\sqrt {3}}+\mathrm {i}$, $-1-\mathrm {i}$.

Solution

• $1+\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$, ${\overline {{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}}}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}$, ${\frac {1}{{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}$.
• $(1+\mathrm {i} )^{2}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}$, ${\overline {2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}}}=2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /2}$, ${\frac {1}{2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /2}$.
• $(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}$, ${\overline {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}}}={\frac {1}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}}}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /2}$.
• $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$, ${\overline {2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}}}=2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}$, ${\frac {1}{2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}$.
• ${\sqrt {3}}+\mathrm {i} =2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$, ${\overline {2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}}}=2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6}$, ${\frac {1}{2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6}$.
• $(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(1+\mathrm {i} )^{-1}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}$, ${\overline {{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}}}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}$, ${\frac {1}{{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}$.
• $(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{-1}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$, ${\overline {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}}}={\frac {1}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}}}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6}$.
• $-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} =2\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}$, ${\overline {2\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}}}=2\operatorname {e} ^{-5\mathrm {i} \pi /6}$, ${\frac {1}{2\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{-5\mathrm {i} \pi /6}$.
• $-1-\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} \pi /4}$, ${\overline {{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} \pi /4}}}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{3\mathrm {i} \pi /4}$, ${\frac {1}{{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} \pi /4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {e} ^{3\mathrm {i} \pi /4}$.

 

Donnez les racines carrées des nombres précédents et la forme cartésienne des racines carrées des nombres suivants, de celles de leurs conjugués et de celles de leurs inverses :

$8+6\mathrm {i}$, $5+12\mathrm {i}$, $9+40\mathrm {i}$, $16+30\mathrm {i}$.

Solution

• $1+\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt[{4}]{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /8}$.
• $(1+\mathrm {i} )^{2}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$.
• $(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )^{-1}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}$ a pour racines carrées $\pm \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$.
• $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$.
• ${\sqrt {3}}+\mathrm {i} =2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}$.
• $(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(1+\mathrm {i} )^{-1}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt[{4}]{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /24}$.
• $(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{-1}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ a pour racines carrées $\pm \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}$.
• $-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} =2\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /12}$.
• $-1-\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} \pi /4}$ a pour racines carrées $\pm {\sqrt[{4}]{2}}\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} \pi /8}$.
• $8+6\mathrm {i}$ a pour racines carrées $\pm (3+\mathrm {i} )$. Les racines carrées de son conjugué sont les conjugués de ses racines carrées : $\pm (3-\mathrm {i} )$. Les racines carrées de son inverse sont les inverses de ses racines carrées : $\pm (3-\mathrm {i} )/10$.
• $5+12\mathrm {i}$ a pour racines carrées $\pm (3+2\mathrm {i} )$. Conjugués : $\pm (3-2\mathrm {i} )$. Inverses : $\pm (3-2\mathrm {i} )/13$.
• $9+40\mathrm {i}$ a pour racines carrées $\pm (5+4\mathrm {i} )$. Conjugués : $\pm (5-4\mathrm {i} )$. Inverses : $\pm (5-4\mathrm {i} )/41$.
• $16+30\mathrm {i}$ a pour racines carrées $\pm (5+3\mathrm {i} )$. Conjugués : $\pm (5-3\mathrm {i} )$. Inverses : $\pm (5-3\mathrm {i} )/34$.

 

Exercice 1-8

Soit $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$. On pose $v=z+|z|$.

Montrer que les racines carrées de $z$ sont $\pm {\frac {v}{\sqrt {2\operatorname {Re} (v)}}}$

Solution

Remarquons d'abord que $\operatorname {Re} (v)=\operatorname {Re} (z)+|z|>0$ puisque $z\notin \mathbb {R} _{-}$.

${\begin{aligned}\left({\frac {v}{\sqrt {2\operatorname {Re} (v)}}}\right)^{2}&={\frac {v^{2}}{2\operatorname {Re} (v)}}\\&={\frac {(z+|z|)^{2}}{2(\operatorname {Re} (z)+|z|)}}\\&={\frac {z^{2}+|z|^{2}+2z|z|}{2(\operatorname {Re} (z)+|z|)}}\\&=z~{\frac {z+{\bar {z}}+2|z|}{2(\operatorname {Re} (z)+|z|))}}\\&=z~{\frac {2\operatorname {Re} (z)+2|z|}{2(\operatorname {Re} (z)+|z|)}}\\&=z\end{aligned}}$

• On sait ainsi que les deux nombres distincts ${\frac {v}{\sqrt {2\operatorname {Re} (v)}}}$ et $-{\frac {v}{\sqrt {2\operatorname {Re} (v)}}}$ ont pour carré $z$.
• On sait par ailleurs que $z$ a exactement deux racines carrées distinctes dans $\mathbb {C}$.

Finalement, les racines carrées de $z$ sont bien $\pm {\frac {v}{\sqrt {2\operatorname {Re} (v)}}}$.