Leçons de niveau 12

Approche géométrique des nombres complexes/Devoir/Résolution d'une équation du quatrième degré

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Résolution d'une équation du quatrième degré
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Devoir no1
Leçon : Approche géométrique des nombres complexes

Devoir de niveau 12.

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Approche géométrique des nombres complexes/Devoir/Résolution d'une équation du quatrième degré
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 Soit un réel fixé. Démontrer que l'équation :

admet en général deux solutions complexes conjuguées, notées et . Les exprimer en fonction de . Préciser leur module. Examiner le cas où .

 Les solutions de l'équation :

avec réel fixé, sont notées et .
Soit :
.
En fonction de et , calculer pour que soit identique au polynôme :
.
Démonter qu'alors, et .

 Inversement sont fixés, tels que et l'on cherche à déterminer les réels et tels que soit identique à .

Démontrer que et sont solutions de l'équation :
.
Écrire les inégalités que et doivent vérifier pour que et existent.

 On se propose d'interpréter géométriquement ces inégalités. Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé, soit M le point de coordonnées .

Déterminer l'ensemble des points M tel que et existent. Tracer soigneusement les courbes qui délimitent cet ensemble.

 Appliquer les résultats précédents à la résolution de l'équation :

en déterminant au préalable et .