Applications techniques des nombres complexes/Utilité des nombres complexes

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Ce chapitre présente la vision que les algébristes du seizième siècle avaient des nombres complexes. À cette époque, beaucoup de notions d'algèbre moderne n'avaient pas encore fait leur apparition et les nombres complexes paraissaient bien mystérieux aux mathématiciens de cette époque.

Une inconnue particulière

Considérons l'équation suivante :

$x^{2}+1=0$

Nous savons qu'elle n'a pas de solution (dans l'ensemble des nombres réels). Cela ne nous empêche pas de l'écrire. Le x « n'existe pas », mais cela ne nous empêche pas de l'élever au carré et de lui ajouter 1. De manière générale, lorsque l’on manipule une inconnue, on manipule un objet dont on ne connaît rien, voire qui peut ne pas exister…

Cette inconnue particulière, nous allons l'appeler i, comme « imaginaire ». Nous écrirons donc :

$i^{2}+1=0$

soit :

$i^{2}=-1$

Cette inconnue va nous servir à résoudre les équations du troisième degré.

Équations du 3^e degré

La résolution de ces équations est hors du cadre de ce cours. Nous prenons cet exemple pour montrer l'utilité de ce i, vous n'avez pas à savoir traiter ce sujet tout seul. Nous allons l'aborder sous la forme d'un exercice guidé.

Nous allons considérer l'équation suivante :

$x^{3}=15x+4$

soit :

$x^{3}-15x-4=0.(1)$

Ce problème a été étudié par Scipione Del Ferro au XV^e siècle, qui n'en publia pas la solution mais la transmit à Nicolo Fontana dit « Tartaglia ». Celle-ci atterrit dans les mains de Gerolamo Cardano (Jérôme Cardan) qui la publia en 1546.

Se ramener à une équation du second degré

La démarche consiste à se ramener à une équation du 2nd degré.

Pour cela, on définit les variables u et v par les équations suivantes :

$x=u+v$

$3uv=15$

Que devient l'équation (1) ? Que vaut $u^{3}v^{3}$ ?

Solution

L'équation (1) devient

(u + v )³ -15(u + v ) - 4 = 0

on développe :

u³ + 3u²v + 3 uv² + v³ -15(u + v ) - 4 = 0

on réorganise afin de faire apparaître uv :

u³ + 3uuv + 3 uvv + v³ -15(u + v ) - 4 = 0

en remplaçant 3uv par 15, on obtient

u³ + 15u + 15v + v³ -15(u + v ) - 4 = 0

u³ + v³ - 4 = 0,

soit

u³ + v³ = 4.

Par ailleurs,

$uv={\frac {15}{3}}=5$

soit

$u^{3}\cdot v^{3}=5^{3}=125$.

 

Posons U = u³ et V = v³. Le problème se ramène donc à déterminer U et V en connaissant leur somme et leur produit :

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} +\mathrm {V} &=4\\\mathrm {U} \cdot \mathrm {V} &=125\end{aligned}}\right.$

Montrer que cela se ramène à une équation du second degré.

Solution

On peut par exemple poser

$\mathrm {V} =-\mathrm {U} +4$

puis substituer ceci dans la seconde équation

${\begin{aligned}&\mathrm {U} \cdot \left(-\mathrm {U} +4\right)=125\\&-\mathrm {U} ^{2}+4\mathrm {U} =125\\&\mathrm {U} ^{2}-4\mathrm {U} +125=0\end{aligned}}$.

 

Résolution de l'équation du second degré

Le discriminant de cette équation du 2nd degré est :

$\Delta =4^{2}-4\times 125=-484$.

L'équation du second degré n'a pas de solution puisque le discriminant est négatif. Toutefois, la résolution de cette équation n’est pas une fin en soi, c’est juste une étape intermédiaire pour arriver à la solution. Posons donc :

$\Delta =-z^{2}=-1\cdot z^{2}=i^{2}\cdot z^{2}$.

On a alors

${\sqrt {\Delta }}=i\cdot z$

avec

$z={\sqrt {484}}=22$

soit

${\sqrt {\Delta }}=22i{\text{. (2)}}$

Nous voyons réapparaître ce nombre i imaginaire. En considérant la forme (2) pour ${\sqrt {\Delta }}$, donner la solution de l'équation du 2nd degré puis de l'équation du 3^e degré (1) ; les solutions contiendront le terme i.

Solution

On a

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} _{1}={\frac {4+{\sqrt {\Delta }}}{2}}={\frac {4+22i}{2}}=2+11i\\&\mathrm {U} _{2}=2-11i\end{aligned}}\right.$

et donc

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {V} _{1}=2-11i\\&\mathrm {V} _{2}=2+11i\end{aligned}}\right.$

On remarque qu'U₁ = V₂ et qu'U₂ = V₁ ; les deux solutions donnent donc le même résultat. On a ainsi une solution unique de l'équation (1) :

$x=u+v={\sqrt[{3}]{\mathrm {U} _{1}}}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {V} _{1}}}={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}$.

 

Solution réelle de l'équation du troisième degré

Supposons que u, la racine cubique de U, ait la même forme qu'U :

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} =2+11i\\&u=a+bi\\\end{aligned}}\right.$

a et b étant des nombres réels. On a alors

$\mathrm {U} =u^{3}=a^{3}+3ab^{2}i^{2}+3a^{2}bi+b^{3}i^{3}$ ;

on remarque que i ³ = i ² × i = -i, soit

$\mathrm {U} =a^{3}-3ab^{2}+(3a^{2}b-b^{3})i$.

Par ailleurs, calculons le cube du « conjugué » ${\bar {u}}=a-bi$ :

${\bar {u}}^{3}=a^{3}-3ab^{2}-(3a^{2}b-b^{3})i={\bar {\mathrm {U} }}$.

On voit donc que le résultat est le conjugué de U, c'est-à-dire… V. On a donc

v ³ = V et u ³ = V

soit

v ³ = u ³.

Une des solutions possibles à cette équation est

v = u = a - bi

Lorsque l’on fait u + v, la partie imaginaire s'élimine :

x = u + v = a + bi + a - bi = 2a.

On a donc au final un résultat réel !

Montrer que 2 + i est une racine cubique de U. En déduire une solution de l'équation (1).

Solution

On a :

(2 + i )³ = 2³ + 3⋅2²⋅i + 3⋅2⋅i² + i³ = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11 i

soit

(2 + i )³ = U,

(2 + i ) est bien une racine cubique de U. On a donc

$\left\{{\begin{aligned}&u=2+i\\&v=2-i\\\end{aligned}}\right.$

soit

x = 4.

 

Note

L'équation possède deux autres solutions réelles.

Bilan

Nous avons vu au cours de cette étude que l'inconnue imaginaire i pouvait être utilisée comme intermédiaire de calcul : elle apparaît provisoirement dans la méthode, mais se simplifie et disparaît dans le résultat final.

Le but de cette leçon est d'étudier cette inconnue imaginaire : puisque nous avons un nouvel outil, il nous faut mieux le connaître, pour savoir comment l’utiliser, et lui trouver d'autres usages. Nous verrons à la fin qu’il se révèle utile dans d'autres domaines de la physique, et notamment dans l'étude des ondes et du courant sinusoïdal.

Dorénavant, lorsqu'une équation du second degré a un discriminant négatif, il ne faudra plus dire « l'équation n'admet pas de solution » mais dire « l'équation n'admet pas de solution réelle »…