Leçons de niveau 13

Applications techniques des nombres complexes/Représentation complexe d'une sinusoïde

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Représentation complexe d'une sinusoïde
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Chapitre no 4
Leçon : Applications techniques des nombres complexes
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En physique nous sommes souvent amené à manipuler des sinusoïdes. En particulier, en électricité où les courants et les tensions sont souvent des fonctions sinusoïdales du temps. Nous savons que les tensions, aux bornes de composants branchés en série, s'ajoutent. Nous savons aussi que les courants en dérivation s'ajoutent. Si les courants et les tensions sont des fonctions sinusoïdales du temps, nous sommes donc amené à faire des sommes de sinusoïdes. Cette opération, comme nous allons le voir dans ce chapitre, est assez malaisée à réaliser si l'on se limite à la trigonométrie. Nous allons donc étudier un moyen de simplifier cette opération en utilisant les nombres complexes.

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

On montre et nous admettrons que toute fonction sinusoïdale du temps peut s'écrire sous la forme :

Nous voyons que la fonction sinusoïdale est caractérisée par trois nombres A, , . Ces trois nombres revêtent une importance particulière et reçoivent un nom particulier.

  • A est l'amplitude de la sinusoïde.
  • est la pulsation.
  • est la phase à l'origine.

Nous supposerons dans cette étude que la pulsation est toujours la même (C'est généralement la cas en physique où la pulsation est fixé par le générateur ou la porteuse du signal capté). Nous considérerons donc l'ensemble Sω des sinusoïdes obtenues en faisant varier l'amplitude et la phase à l'origine (ω étant fixé).

Soit et deux fonctions sinusoïdales de Sω. Supposons que l'on ait :

Le problème qui va nous intéresser est d'étudier la sommes des deux fonctions et .


Association d'un nombre complexe à chaque fonction de Sω[modifier | modifier le wikicode]

Pour simplifier le problème que nous nous sommes posé au paragraphe précédent, nous allons définir une association entre une fonction sinusoïdale de Sω et un nombre complexe de . Mathématiquement, nous dirons que l'on définit une application de Sω dans .

Soit donc définie par :

À cette fonction sinusoïdale, nous associerons le nombre complexe qui a pour module, l'amplitude A et pour argument, la phase à l'origine , c'est-à-dire le nombre complexe . Ce nombre complexe sera appelé représentation complexe de .

La pertinence de cette association est justifiée par le théorème suivant:

Début d’un théorème
Fin du théorème

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la somme de deux fonctions sinusoïdales[modifier | modifier le wikicode]

Nous souhaitons, dans ce paragraphe, établir des formules permettant de trouver l'amplitude et la phase à l'origine de la somme de deux fonctions sinusoïdales en fonction des amplitudes et des phases à l'origine des deux fonctions de départ.

Soit donc deux fonctions et définies par :


La représentation complexe de sera .

La représentation complexe de sera .

Pour trouver l'amplitude et la phase à l'origine de la somme des deux fonctions et , il nous suffit de calculer respectivement le module et l'argument du nombre complexe .

Nous avons :

L'amplitude de la somme des deux fonctions sinusoïdales est donc donnée par :


Nous retiendrons :


Soit f une fonction sinusoïdale de Sω d'amplitude A et de phase à l'origine

Soit g une fonction sinusoïdale de Sω d'amplitude B et de phase à l'origine

Alors l'amplitude de la fonction sinusoïdale f + g sera :



Calculons maintenant la phase à l'origine de la fonction .


En mettant le module en facteur, nous avons :

Si nous appelons la phase à l'origine de , nous voyons que nous avons :


Nous retiendrons :


Soit f une fonction sinusoïdale de Sω d'amplitude A et de phase à l'origine

Soit g une fonction sinusoïdale de Sω d'amplitude B et de phase à l'origine

Alors la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale f + g sera un nombre défini par :



De façon plus concise, nous pouvons réunir les deux résultats précédents en écrivant la formule trigonométrique :


étant défini par :