Applications techniques des nombres complexes/Représentation complexe d'une sinusoïde

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En physique, nous sommes souvent amenés à manipuler des sinusoïdes. En particulier en électricité où les courants et les tensions sont souvent des fonctions sinusoïdales du temps. Nous savons que les tensions, aux bornes de composants branchés en série, s’ajoutent. Nous savons aussi que les courants en dérivation s’ajoutent. Si les courants et les tensions sont des fonctions sinusoïdales du temps, nous sommes donc amenés à faire des sommes de sinusoïdes. Cette opération, comme nous allons le voir dans ce chapitre, est assez malaisée à réaliser si l’on se limite à la trigonométrie. Nous allons donc étudier un moyen de simplifier cette opération en utilisant les nombres complexes.

Position du problème

On montre et nous admettrons que toute fonction $f$ sinusoïdale du temps peut s’écrire sous la forme :

$\forall t\in \mathbb {R} ,\qquad f(t)=A\cos(\omega t+\phi )$

Nous voyons que la fonction sinusoïdale est caractérisée par trois nombres A, $\omega$, $\phi$. Ces trois nombres revêtent une importance particulière et reçoivent un nom particulier.

• A est l’amplitude de la sinusoïde.
• $\omega$ est la pulsation.
• $\phi$ est la phase à l’origine.

Nous supposerons dans cette étude que la pulsation est toujours la même (c’est généralement le cas en physique où la pulsation est fixée par le générateur ou la porteuse du signal capté). Nous considérerons donc l’ensemble S_ω des sinusoïdes obtenues en faisant varier l’amplitude et la phase à l’origine (ω étant fixé).

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sinusoïdales de S_ω. Supposons que l'on ait :

$\forall t\in \mathbb {R} ,\qquad f(t)=A\cos(\omega t+\phi )$

$\forall t\in \mathbb {R} ,\qquad g(t)=B\cos(\omega t+\varphi )$

Le problème qui va nous intéresser est d'étudier la somme des deux fonctions $f$ et $g$.

Association d'un nombre complexe à chaque fonction de S_ω

Pour simplifier le problème que nous nous sommes posés au paragraphe précédent, nous allons définir une association entre une fonction sinusoïdale de S_ω et un nombre complexe de $\mathbb {C}$. Mathématiquement, nous dirons que l'on définit une application de S_ω dans $\mathbb {C}$.

Soit donc $f$ définie par :

$\forall t\in \mathbb {R} ,\qquad f(t)=A\cos(\omega t+\phi )$

À cette fonction sinusoïdale, nous associerons le nombre complexe qui a pour module l'amplitude A, et pour argument, la phase à l'origine $\phi$, c'est-à-dire le nombre complexe $Ae^{i\phi }$. Ce nombre complexe sera appelé représentation complexe de $f$.

La pertinence de cette association est justifiée par le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

La somme de deux fonctions sinusoïdales de pulsation ω est une fonction sinusoïdale de pulsation ω dont la représentation complexe est la somme des représentations complexes des deux fonctions sinusoïdales considérées.

Fin du théorème

Démonstration

Nous admettrons ce théorème un peu fastidieux à démontrer.

 

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la somme de deux fonctions sinusoïdales

Nous souhaitons, dans ce paragraphe, établir des formules permettant de trouver l'amplitude et la phase à l'origine de la somme de deux fonctions sinusoïdales en fonction des amplitudes et des phases à l'origine des deux fonctions de départ.

Soit donc deux fonctions $f$ et $g$ définies par :

$\forall t\in \mathbb {R} ,\qquad f(t)=A\cos(\omega t+\phi )$

$\forall t\in \mathbb {R} ,\qquad g(t)=B\cos(\omega t+\varphi )$

La représentation complexe de $f$ sera $Ae^{i\phi }$.

La représentation complexe de $g$ sera $Be^{i\varphi }$.

Pour trouver l'amplitude et la phase à l'origine de la somme des deux fonctions $f$ et $g$, il nous suffit de calculer respectivement le module et l'argument du nombre complexe $Ae^{i\phi }+Be^{i\varphi }$.

Nous avons :

${\begin{aligned}Ae^{i\phi }+Be^{i\varphi }&=A(\cos \phi +i\sin \phi )+B(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=A\cos \phi +B\cos \varphi +i(A\sin \phi +B\sin \varphi )\end{aligned}}$

L'amplitude de la somme des deux fonctions sinusoïdales est donc donnée par :

${\begin{aligned}\left|Ae^{i\phi }+Be^{i\varphi }\right|&={\sqrt {(A\cos \phi +B\cos \varphi )^{2}+(A\sin \phi +B\sin \varphi )^{2}}}\\&={\sqrt {(A^{2}\cos ^{2}\phi +2AB\cos \phi \cos \varphi +B^{2}\cos ^{2}\varphi )+(A^{2}\sin ^{2}\phi +2AB\sin \phi \sin \varphi +B^{2}\sin ^{2}\varphi )}}\\&={\sqrt {(A^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )+B^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )+2AB(\cos \phi \cos \varphi +\sin \phi \sin \varphi )}}\\&={\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}\end{aligned}}$

Nous retiendrons :

Soit f une fonction sinusoïdale de Sω d'amplitude A et de phase à l'origine $\phi$ Soit g une fonction sinusoïdale de Sω d'amplitude B et de phase à l'origine $\varphi$ Alors l'amplitude de la fonction sinusoïdale f + g sera : ${\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}$

Calculons maintenant la phase à l'origine de la fonction $f+g$.

En mettant le module en facteur, nous avons :

${\begin{aligned}Ae^{i\phi }+Be^{i\varphi }&=A\cos \phi +B\cos \varphi +i(A\sin \phi +B\sin \varphi )\\&={\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}\left({\frac {A\cos \phi +B\cos \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}+i{\frac {A\sin \phi +B\sin \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}\right)\end{aligned}}$

Si nous appelons $\theta$ la phase à l’origine de $f+g$, nous voyons que nous avons :

$\cos \theta ={\frac {A\cos \phi +B\cos \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}$

$\sin \theta ={\frac {A\sin \phi +B\sin \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}$

Nous retiendrons :

Soit f une fonction sinusoïdale de Sω d’amplitude A et de phase à l’origine $\phi$ Soit g une fonction sinusoïdale de Sω d’amplitude B et de phase à l’origine $\varphi$ Alors la phase à l’origine de la fonction sinusoïdale f + g sera un nombre $\theta$ défini par : $\cos \theta ={\frac {A\cos \phi +B\cos \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}$ $\sin \theta ={\frac {A\sin \phi +B\sin \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}$

De façon plus concise, nous pouvons réunir les deux résultats précédents en écrivant la formule trigonométrique :

$A\cos(\omega t+\phi )+B\cos(\omega t+\varphi )=\left({\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}\right)\cos(\omega t+\theta )$ $\theta$ étant défini par : $\cos \theta ={\frac {A\cos \phi +B\cos \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}$ $\sin \theta ={\frac {A\sin \phi +B\sin \varphi }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\phi -\varphi )}}}$