Analyse vectorielle/Notion de champ

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Notations

Par convention, on notera :

• les quantités réelles ou complexes par des lettres italiques : $\displaystyle {t}$ ;
• les quantités vectorielles par des lettres surplombées d'une flèche : $\displaystyle {\overrightarrow {E}}$ ;
• le produit vectoriel, si on y est amené, par un V inversé : $\displaystyle {{\overrightarrow {a}}\wedge {\overrightarrow {b}}}$ ;
• le produit scalaire, si on y est amené, par un point : $\displaystyle {{\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}}$.

Introduction

Représentation d'un champ vectoriel.

En physique, on est souvent amené à traiter des propriétés différentes en tout point de l'espace, qui apparaissent aussi bien en physique classique — nous en verrons quelques exemples — qu'en certains domaines de la physique quantique. Les champs proposent un formalisme intuitif pour modéliser ces phénomènes.

Pour bien démarrer considérons un vecteur $\displaystyle {\overrightarrow {E}}$ qui dépend d'une seule variable t, et notons $\displaystyle {\overrightarrow {E}}=\displaystyle {\overrightarrow {E}}(t)$ cette relation de dépendance. Alors $\displaystyle {\overrightarrow {E}}$ est une application vectorielle de la variable t. On remarquera que si t varie, alors la norme ou la direction (ou les deux à la fois) du vecteur $\displaystyle {\overrightarrow {E}}$ peuvent varier.

En généralisant ce cas particulier d'application dans le plan $\scriptstyle \mathbb {R} ^{2}$, l'espace $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ puis à un espace $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ à n dimensions, on arrive à la définition suivante :

Définition

Un champ est une application $M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {K} ^{p}$ continue, où n et p sont deux entiers naturels non-nuls et où $\scriptstyle \mathbb {K}$ désigne le corps des réels ou des complexes.

Il faut remarquer qu'un tel objet est défini en tout point de l'espace. Dans certains cas, on peut restreindre les champs à une zone seulement de l'espace, mais cela est bien souvent inutile, voire faux physiquement. Nous traiterons donc uniquement le cas général.

On distingue généralement deux cas particuliers :

Définition

On appelle champ scalaire un champ qui, à tout point de l'espace, associe un réel ou un complexe.

On appelle champ vectoriel un champ qui, à tout point de l'espace, associe un vecteur réel ou complexe.

De même, il existe des champs tensoriels, des champs spinoriels…

La leçon sera étayée d'exemples, parfois un peu complexes, visant avant tout à illustrer l’intérêt pratique de l'analyse vectorielle. En aucun cas ils ne seront nécessaires à la compréhension du cours.

Champs dépendants du temps

Dans le cas le plus général, un champ n'a aucune raison d’être constant (ou alors, il est peu intéressant). Cela est inclus dans la définition : en effet,

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{n+1}$

En physique, cependant, on distingue clairement le vecteur position du scalaire temps : un champ est généralement noté : ${\overrightarrow {M}}\left({\overrightarrow {r}},t\right)$ Avec $\scriptstyle {\vec {M}}$ le champ, $\scriptstyle {\vec {r}}$ le vecteur position et $t$ le temps.

Propriétés supplémentaires

En physique, on demande très souvent des propriétés plus restrictives que la continuité aux champs : en électromagnétisme, il faut que le champ magnétique (et électrique) soit dérivable (et même deux fois dérivable). En mécanique des fluides, il faut la dérivabilité par rapport au temps… On ne se soucie généralement pas de ces considérations.

Début d’un principe

Principe

En physique, les champs ont souvent les propriétés de continuité et de dérivabilité que l’on souhaite.

Fin du principe

En théorie, les champs ne subissent aucune restriction sur la dimension de leur espace de départ ou d'arrivée. En pratique, de nombreux résultats ne peuvent être énoncés facilement qu'en dimension trois. Sauf précision contraire, nous travaillerons donc dans l'espace euclidien usuel $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$

Ainsi si l’on choisit un repère cartésien convenable, on peut décomposer un champ $\scriptstyle {\vec {E}}={\vec {E}}(t)$ en ses composantes selon les vecteurs $\scriptstyle {\vec {i}}$, $\scriptstyle {\vec {j}}$, $\scriptstyle {\vec {k}}$ de la manière suivante :

${\overrightarrow {E}}=E_{x}(t)\cdot {\overrightarrow {i}}+E_{y}(t)\cdot {\overrightarrow {j}}+E_{z}(t)\cdot {\overrightarrow {k}}.$

On calculera alors aisément sa dérivée scalaire selon les trois composantes :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {E}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} E_{x}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {\mathrm {d} E_{y}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\overrightarrow {j}}+{\frac {\mathrm {d} E_{z}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\overrightarrow {k}}.$

Lorsque cela est plus commode, souvent par raison de symétrie, on sera amené à travailler en systèmes de coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.

Exemples

• Rappelez-vous, en chute des corps, le vecteur vitesse instantanée est une application vectorielle dépendant du temps.
• Intuitivement, un exemple de champ scalaire de dimension trois est la température d'une pièce : en chaque point de l'espace, on peut attribuer un nombre ; ce nombre pourra bien entendu aussi varier dans le temps.
• Dans une rivière qui s'écoule, on peut attribuer à chaque point une vitesse : c’est un champ vectoriel.

Dans le chapitre suivant, on étudiera les variations des champs scalaires et vectoriels. On abordera la notion de gradient.