Leçons de niveau 15

Algèbre linéaire et calcul matriciel/Notation matricielle de vecteurs et de formes linéaires

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Notation matricielle de vecteurs et de formes linéaires
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Chapitre no 3
Leçon : Algèbre linéaire et calcul matriciel
Chap. préc. :Formes linéaires
Chap. suiv. :Sommaire
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Notes importantes sur les notations dans ce chapitre :
  1. Dans ce chapitre, les vecteurs sont notés avec une flèche ( ) tant que l'identification entre le vecteur et le n-uplet de ses coordonnées n’est pas établie. Cela évite de faire inconsciemment une identification qui n’est pas encore fondée à ce stade, bien que parfaitement exacte comme nous l'établirons plus tard.
  2. Les indices covariants et contravariants sont tous notés en indice (pas en exposants) pour des raisons de lisibilité pour le public cible (niveau 15). Nous renonçons donc à la convention de sommation d'Einstein dans cette leçon.


Soit un espace vectoriel sur le corps .

Soit la base canonique de est soit {1,2,..,n} si la dimension n de est finie, soit sinon.

Soit enfin une autre base quelconque de .

Un vecteur en notation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

Un vecteur comme combinaison linéaire des éléments d'une base[modifier | modifier le wikicode]

Une base F est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel. Dès lors tout vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire des éléments de la base F. De plus cette combinaison linéaire est unique puisque une base est par définition libre.




Cas de la base canonique[modifier | modifier le wikicode]

La base canonique est, par définition, la base la plus 'naturelle' pour et dès lors la plus 'courante'. Si pour le vecteur de la section précédente, nous analysons l’ensemble des coefficients de la base canonique pour atteindre ce vecteur, cet ensemble de coefficients sera le plus 'naturel' également...

Soit donc exprimé dans la base canonique :

Notons maintenant les éléments de la base canonique sous forme de matrice colonne de sorte que

  • toutes les valeurs dans ces matrices colonnes sont nuls...
  • ... sauf celui sur la i-ème ligne du i-ème élément de la base.


Soit la famille telle que en utilisant le symbole de Kronecker.


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Comportement lors d'un changement de base[modifier | modifier le wikicode]

Zeichen 114 - Schleudergefahr bei Nässe und Schmutz, StVO 1992.svg

Cette section est difficile. Même si elle ne fait intervenir que des notions du niveau indiqué, il est conseillé d’avoir du recul sur les notions présentées pour bien comprendre ce qui suit.

Considérons donc nos deux bases:

  • la canonique  ;
  • et une autre, quelconque, .

Chaque élément de la seconde base est un vecteur, on peut donc l'exprimer en fonction de ses coordonnées dans la base canonique et ainsi constituer la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des éléments de F dans la base canonique E. Il s'agit de la matrice de changement de base.

Considérons qui peut être identifié de deux façons équivalentes:

  • soit par ses coordonnées (sous forme de matrice colonne) dans la base E: ,
  • soit par ses coordonnées (sous forme de matrice colonne) dans la base F: .

On a alors où le point est la multiplication matricielle.


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Nous avons donc une méthode pour changer de base: la matrice permet de passer de la base F vers la base E simplement. Si on connait les coordonnées d'un vecteur dans la base F, on multiplie (à gauche) par la matrice de changement de base pour obtenir les coordonnées de ce même vecteur dans la base E.

Une forme linéaire en notation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

Afin de souligner la dualité, nous allons nous efforcer de présenter cette section de façon duale de la façon dont nous avons présenté la section précédente.

Une forme linéaire comme covecteur des images des éléments d'une base[modifier | modifier le wikicode]

Une forme linéaire est caractérisée par l'image de chaque élément de la base E.





Base canonique de [modifier | modifier le wikicode]

La base canonique est, par définition, la base la plus 'naturelle' pour et dès lors la plus 'courante'. Si pour le covecteur de la section précédente (c'est-à-dire la forme linéaire), nous analysons l'image des éléments de la base canonique de , cet ensemble sera le plus 'naturel' également en tant que coordonnées de ce covecteur.

Soit

sont les coordonnées de et × est la multiplication des scalaires.

Formons maintenant la base faite des éléments sous forme de "matrice ligne" de sorte que

  • toutes les valeurs dans ces matrices lignes sont nuls...
  • ... sauf celui sur la i-ème colonne du i-ème élément de la base.


On appellera la base canonique de E* la famille telle que en utilisant le symbole de Kronecker.

Comportement lors d'un changement de base[modifier | modifier le wikicode]

Zeichen 114 - Schleudergefahr bei Nässe und Schmutz, StVO 1992.svg

Cette section est difficile. Même si elle ne fait intervenir que des notions du niveau indiqué, il est conseillé d’avoir du recul sur les notions présentées pour bien comprendre ce qui suit.

Considérons donc nos deux bases de :

  • la canonique  ;
  • et une autre, quelconque, .

Un vecteur a des coordonnées dans E et F notées .

Soit la base canonique duale de .

Pour une forme donnée, l'image de est indépendante de la base. Il faut donc avoir un moyen de passer de n’importe quelle base de vers la base canonique duale E*. On veut donc définir les coordonnées de dans la base F*, notées , par

.

en vertu de l'associativité du produit matriciel (qui, rappelons-le, n'est en revanche pas commutatif) :

On a donc établi que pour tout on a .

Dès lors, .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Nous avons donc une méthode pour changer de base: la matrice permet de passer de la base duale E* vers la base duale F*. Si l'on connait les coordonnées d'un covecteur dans la base duale E*, on multiplie (à droite) par la matrice de changement de base « F vers E » pour obtenir les coordonnées de ce même covecteur dans la base F*.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]



Mais notons que pour des vecteurs, on multiplie à droite ; alors que pour les covecteurs, on multiplie à gauche.

Si nous notons "" la matrice pour changer de bases de vecteurs F vers la base de vecteurs E, jusqu'ici notée "", on aura

  • pour passer les vecteurs :
  • pour passer les covecteurs :

Et la notation des indices devient mnémotechnique... en retenant qu'on multiplie les vecteurs à gauche et les covecteurs à droite.