Algèbre linéaire et calcul matriciel/Notation matricielle de vecteurs et de formes linéaires

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Notes importantes sur les notations dans ce chapitre :

1. Dans ce chapitre, les vecteurs sont notés avec une flèche (${\vec {x}}$ ) tant que l'identification entre le vecteur et le n-uplet de ses coordonnées n’est pas établie. Cela évite de faire inconsciemment une identification qui n’est pas encore fondée à ce stade, bien que parfaitement exacte comme nous l'établirons plus tard.
2. Les indices covariants et contravariants sont tous notés en indice (pas en exposants) pour des raisons de lisibilité pour le public cible (niveau 15). Nous renonçons donc à la convention de sommation d'Einstein dans cette leçon.

Soit $\left(\mathbb {E} ,+,\cdot \right)$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb {K}$.

Soit $\left({\vec {e}}_{i}\right)_{i\in I}$ la base canonique de $\mathbb {E}$, où $I$ est soit {1,2,..,n} si la dimension n de $\mathbb {E}$ est finie, soit $\mathbb {N}$ sinon.

Soit enfin $\left({\vec {f}}_{i}\right)_{i\in I}$ une autre base quelconque de $\mathbb {E}$.

Un vecteur en notation matricielle

Un vecteur comme combinaison linéaire des éléments d'une base

Une base F est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel. Dès lors, tout vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire des éléments $\left({\vec {f}}_{i}\right)_{i\in I}$ de la base F. De plus cette combinaison linéaire est unique puisque une base est par définition libre.

Conclusion

En conclusion, quand une base $\left({\vec {f}}_{i}\right)_{i\in I}$ est donnée, tout vecteur est univoquement caractérisé par les coefficients de l'unique combinaison linéaire selon les ${\vec {f_{i}}}$: $\forall {\vec {v}}\in \mathbb {E} :{\vec {v}}=\sum _{i\in I}v_{i}\cdot {\vec {f_{i}}}$ où la famille $v_{i}$ est unique et caractéristique de ${\vec {v}}$, ce sont ses coordonnées dans cette base.

Cas de la base canonique

La base canonique est, par définition, la base la plus « naturelle » pour $\mathbb {E}$ et dès lors la plus courante. Si pour le vecteur de la section précédente, nous analysons l’ensemble des coefficients de la base canonique pour atteindre ce vecteur, cet ensemble de coefficients sera le plus « naturel » également...

Soit donc ${\vec {x}}$ exprimé dans la base canonique $\left({\vec {e}}_{i}\right)_{i\in I}$:

${\vec {x}}=\sum _{i\in I}x_{i}\cdot {\vec {e_{i}}}$

Notons maintenant les éléments de la base canonique sous forme de matrice colonne de sorte que

• toutes les valeurs dans ces matrices colonnes sont nuls...
• ... sauf celui sur la i-ème ligne du i-ème élément de la base.

Soit la famille $\left(e_{i}\right)_{i\in I}$ telle que $e_{i}=^{T}\left(\delta _{i,j}\right)_{j\in I}$ en utilisant le symbole de Kronecker.

Début de l'exemple

$\mathbb {R} ^{3}$

On notera la base canonique de $\mathbb {R} ^{3}$ ainsi:

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Dès lors pour ${\vec {x}}=1\cdot e_{1}+5\cdot e_{2}+0.5\cdot e_{3}$, nous aurons

${\vec {x}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+5\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+0.5\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\5\\0.5\end{pmatrix}}$

Fin de l'exemple

Comportement lors d'un changement de base

Cette section est difficile à comprendre. Même si elle ne fait intervenir que des notions du niveau indiqué, il est conseillé d'avoir du recul sur les notions présentées pour bien assimiler ce qui suit.

Considérons donc nos deux bases:

• la canonique $E=\left({\vec {e}}_{i}\right)_{i\in I}$ ;
• et une autre, quelconque, $F=\left({\vec {f}}_{i}\right)_{i\in I}$.

Chaque élément de la seconde base ${\vec {f}}_{i}$ est un vecteur, on peut donc l'exprimer en fonction de ses coordonnées dans la base canonique et ainsi constituer la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des éléments de F dans la base canonique E. Il s'agit de la matrice de changement de base.

Considérons ${\vec {x}}$ qui peut être identifié de deux façons équivalentes :

• soit par ses coordonnées (sous forme de matrice colonne) dans la base E: ${\vec {x}}_{E}$,
• soit par ses coordonnées (sous forme de matrice colonne) dans la base F: ${\vec {x}}_{F}$.

On a alors ${\vec {x}}_{E}=\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right).{\vec {x}}_{F}$ où le point est la multiplication matricielle.

Début de l'exemple

$\mathbb {R} ^{3}$

Dans $\mathbb {R} ^{3}$, on a la base canonique E donnée par ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}_{E};{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}_{E};{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{E}$.

Prenons maintenant une autre base de $\mathbb {R} ^{3}$, par exemple celle constituée des vecteurs dont les coordonnées dans E sont ${\begin{pmatrix}5\\20\\0\end{pmatrix}}_{E};{\begin{pmatrix}10\\1\\1\end{pmatrix}}_{E};{\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}_{E}$.

Nous pouvons créer, en juxtaposant les éléments de F (selon leurs coordonnées dans E!), la matrice suivante ${\mathcal {M}}_{(F\to E)}:={\begin{pmatrix}5&10&1\\20&1&3\\0&1&5\end{pmatrix}}$.

Si ${\vec {x}}_{F}$ est (dans la base F) de coordonnées ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}_{F}$, ça signifie que

${\vec {x}}_{E}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}\cdot {\vec {f_{i}}}=x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}5\\20\\0\end{pmatrix}}_{E}+x_{2}\cdot {\begin{pmatrix}10\\1\\1\end{pmatrix}}_{E}+x_{3}{\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}_{E}$

$={\begin{pmatrix}5&10&1\\20&1&3\\0&1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}_{F}$

$={\mathcal {M}}_{(F\to E)}{\vec {x}}_{F}$

Fin de l'exemple

Nous avons donc une méthode pour changer de base : la matrice ${\mathcal {M}}_{(F\to E)}$ permet de passer de la base F vers la base E simplement. Si on connait les coordonnées d'un vecteur dans la base F, on multiplie (à gauche) par la matrice de changement de base pour obtenir les coordonnées de ce même vecteur dans la base E.

Une forme linéaire en notation matricielle

Afin de souligner la dualité, nous allons nous efforcer de présenter cette section de façon duale de la façon dont nous avons présenté la section précédente.

Une forme linéaire comme covecteur des images des éléments d'une base

Une forme linéaire est caractérisée par l'image de chaque élément de la base E.

Conclusion

En conclusion, quand une base $\left({\vec {f}}_{i}\right)_{i\in I}$ est donnée, toute forme linéaire est univoquement caractérisée par les images respectives des différents ${\vec {f_{i}}}$:

Base canonique de $E^{*}$

La base canonique est, par définition, la base la plus « naturelle » pour $\mathbb {E} ^{*}$ et dès lors la plus 'courante'. Si pour le covecteur de la section précédente (c'est-à-dire la forme linéaire), nous analysons l'image des éléments de la base canonique de $\mathbb {E}$, cet ensemble sera le plus « naturel » également en tant que coordonnées de ce covecteur.

Soit $\varphi \in \mathbb {E} ^{*}$

$\forall {\vec {v}}\in \mathbb {E} :\langle \varphi |{\vec {v}}\rangle =\sum _{i\in I}{v_{i}\times \langle \varphi |{\vec {f_{i}}}\rangle }$ où $v_{i}$ sont les coordonnées de ${\vec {v}}$ et × est la multiplication des scalaires.

Formons maintenant la base faite des éléments sous forme de matrice ligne de sorte que

• toutes les valeurs dans ces matrices lignes sont nuls...
• ... sauf celui sur la i-ème colonne du i-ème élément de la base.

On appellera la base canonique de E* la famille $\left(\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ telle que $\langle \varphi _{i}|{\vec {e_{j}}}\rangle =\delta _{i,j}$ en utilisant le symbole de Kronecker.

Comportement lors d'un changement de base

Cette section est difficile à comprendre. Même si elle ne fait intervenir que des notions du niveau indiqué, il est conseillé d'avoir du recul sur les notions présentées pour bien assimiler ce qui suit.

Considérons donc nos deux bases de $\mathbb {E}$:

• la canonique $E=\left({\vec {e}}_{i}\right)_{i\in I}$ ;
• et une autre, quelconque, $F=\left({\vec {f}}_{i}\right)_{i\in I}$.

Un vecteur ${\vec {x}}$ a des coordonnées dans E et F notées ${\vec {x}}_{E}=\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right).{\vec {x}}_{F}$.

Soit $E^{*}$ la base canonique duale de $\mathbb {E} ^{*}$.

Pour une forme $\varphi$ donnée, l'image de ${\vec {x}}$ est indépendante de la base. Il faut donc avoir un moyen de passer de n’importe quelle base de $\mathbb {E} ^{*}$ vers la base canonique duale E*. On veut donc définir les coordonnées de $\varphi$ dans la base F*, notées $\varphi _{F}$, par

$\langle \varphi _{F}|{\vec {x}}_{F}\rangle :=\langle \varphi _{E}|{\vec {x}}_{E}\rangle$.

$\langle \varphi _{E}|{\vec {x}}_{E}\rangle =\langle \varphi _{E}|\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right).\left({\vec {x}}_{F}\right)\rangle$

$=\left(\varphi \right)_{E}.{\bigg (}\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right).\left({\vec {x}}_{F}\right){\bigg )}$

en vertu de l'associativité du produit matriciel (qui, rappelons-le, n'est en revanche pas commutatif) :

$={\bigg (}\left(\varphi \right)_{E}.\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right){\bigg )}.\left({\vec {x}}_{F}\right)$

$=\langle \varphi _{E}.\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right)|\left({\vec {x}}_{F}\right)\rangle =\langle \varphi _{F}|{\vec {x}}_{F}\rangle$

On a donc établi que pour tout ${\vec {x}}$ on a $\langle \varphi _{F}|{\vec {x}}_{F}\rangle ==\langle \varphi _{E}.\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right)|{\vec {x}}_{F}\rangle$.

Dès lors, $\varphi _{F}=\varphi _{E}.\left({\mathcal {M}}_{(F\to E)}\right)$.

Début de l'exemple

$\mathbb {R} ^{3*}$

Dans $\mathbb {R} ^{3}$, on a la base canonique E et la base F de l'exemple de la section précédente.

La matrice de changement de base est ${\mathcal {M}}_{(F\to E)}:={\begin{pmatrix}5&10&1\\20&1&3\\0&1&5\end{pmatrix}}$.

Si $\varphi _{E}$ est (dans la base E*) de coordonnées $\left(\varphi _{1};\varphi _{2};\varphi _{3}\right)_{E}$, je recherche $\varphi _{F}$ qui est sont les coordonnées dans la base F* de même forme $\varphi$.

$\langle \varphi _{F}|{\vec {x}}_{F}\rangle =\left(\varphi _{1};\varphi _{2};\varphi _{3}\right)_{F}.{\begin{pmatrix}5&10&1\\20&1&3\\0&1&5\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}_{E}$

Donc $\varphi _{F}=\varphi _{E}.{\mathcal {M}}_{(F\to E)}={\Big (}5\varphi _{1}+20\varphi _{2};10\varphi _{1}+\varphi _{2}+\varphi _{3};\varphi _{1}+3\varphi _{2}+5\varphi _{3}{\Big )}$.

Fin de l'exemple

Nous avons donc une méthode pour changer de base : la matrice ${\mathcal {M}}_{(F\to E)}$ permet de passer de la base duale E* vers la base duale F*. Si l'on connait les coordonnées d'un covecteur dans la base duale E*, on multiplie (à droite) par la matrice de changement de base « F vers E » pour obtenir les coordonnées de ce même covecteur dans la base F*.

Conclusion

Conclusion

La matrice de changement de base E vers F et celle de F* vers E* est la même. De même, la matrice pour passer de F vers E est la même que celle pour passer de E* vers F* et est l'inverse de la précédente (« inverse » au sens de la multiplication matricielle).

Mais notons que pour des vecteurs, on multiplie à droite ; alors que pour les covecteurs, on multiplie à gauche.

Si nous notons "${\mathcal {M}}_{(E,F)}$" la matrice pour changer de bases de vecteurs F vers la base de vecteurs E, jusqu'ici notée "${\mathcal {M}}_{(F\to E)}$", on aura

• pour passer les vecteurs : ${\vec {x}}_{E}={\mathcal {M}}_{(E,F)}.{\vec {x}}_{F}$
• pour passer les covecteurs : $\varphi _{E}.{\mathcal {M}}_{(E,F)}=\varphi _{F}$

Et la notation des indices devient mnémotechnique... en retenant qu'on multiplie les vecteurs à gauche et les covecteurs à droite.