Leçons de niveau 17

Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice complexe

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Matrice hermitienne
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Devoir no1
Cours : Algèbre linéaire

Ce devoir est de niveau 17.


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Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice complexe
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Décomposition polaire d'une matrice complexe


Dans les questions 3 et 5, désigne le nombre complexe .

 Soient un corps, un -espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie), et deux endomorphismes diagonalisables de , et un polynôme.

  • Montrer que si la fonction polynomiale associée à est injective sur le spectre de , alors a mêmes sous-espaces propres que , avec comme valeurs propres les images par de celles de .
  • En déduire que si est aussi injective sur le spectre de et si , alors .

 Soit H et H' deux matrices hermitiennes positives de Mn(ℂ). Déduire de la question 1 que :

  • toute base de ℂn formée de vecteurs propres de H2 est une base de vecteurs propres de H ;
  • si H2 = H'2, alors H = H'.

 Soit :

.
Déterminer une matrice hermitienne positive H ∈ M3(ℂ) telle que H2 = M.

 Soit A une matrice de Mn(ℂ). Montrer que si :

avec D matrice diagonale positive dans Mn(ℝ),
alors il existe U unitaire dans Mn(ℂ) telle que A = U.D.

 Soit A dans Mn(ℂ). En déduire qu’il existe une matrice hermitienne positive unique H et une matrice unitaire U de Mn(ℂ) telle que A = U.H.

U est-elle unique ?
Déterminer U et H dans le cas particulier où :
et dans le cas où :
.