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février 2021).
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Devoir : Suites récurrentes d'ordre 2
Mathématiques en terminale générale/Devoir/Suites récurrentes d'ordre 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'abeille femelle a un père et une mère tandis que l'abeille mâle a une mère mais pas de père. On souhaite connaître le nombre
d'ancêtres d'une abeille mâle
, présents à la nième génération la précédant.
Le schéma ci-dessous montre le calcul de
.
1° Vérifier les résultats obtenus ci-dessus.
2° Notons
le nombre d'ancêtres femelles et
le nombre d’ancêtres mâle à la nième génération qui nous intéresse.
- Vérifier que pour tout naturel n :
![{\displaystyle {\begin{cases}f_{n+1}=f_{n}+m_{n}\\m_{n+1}=f_{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3ac45d74bdf311d2371f683d0539d064a1628d)
3° Déduisez-en que pour tout naturel n :
![{\displaystyle {\begin{cases}f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\\m_{n+2}=m_{n+1}+m_{n}\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74829cd5c161c36adb36b2a156abbc9c6fc42ed)
La suite
est donc déterminée par :
4° On note (E) l'ensemble des suites définies par la donnée de
, de
, et de la relation
pour tout naturel n.
- a) On cherche s'il existe des suites géométriques
appartement à (E).
- Vérifier que les propositions (P1) et (P2) sont équivalentes :
- (P1) :
appartient à (E).
- (P2) :
est une solution de l'équation
.
- b) Déduisez-en qu'il existe deux suites géométriques, et deux seulement, qui appartiennent à (E).
- On notera
et
ces deux suites. Précisez la valeur de
et celle de
.
- c) La suite
qui nous intéresse, appartient à (E). On cherche à écrire, pour tout naturel n,
,
et
étant deux nombres fixes indépendants de n.
- Montrez qu'il existe deux nombres
et
, et seulement deux, tels que :
.
- Déduisez-en que pour tout naturel n :
![{\displaystyle u_{n}=ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55e78c7e442dbb4b3bf16e38e9bb151759a0048)
- d) Montrez que pour tout naturel n :
![{\displaystyle u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29a0deb37c820dd30728bdf53c5d97135fbc10c)
- e) Montrez que pour tout naturel n :
,
- L'entier
prenant toutes les valeurs impaires comprises entre
et
(
impair,
).
5° Calculez
et
.
Corrigé
Le corrigé de
ce devoir
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» du modèle. Comment faire ?