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Trigonométrie hyperbolique : Fonctions hyperboliques réciproques Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Argument cosinus hyperbolique
Propriété
cosh établit une bijection de
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
sur
[
1
,
+
∞
[
{\displaystyle [1,+\infty [}
.
Début d’un théorème
Expression explicite de arcosh
∀
x
∈
[
1
,
+
∞
[
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
.
Fin du théorème
Argument sinus hyperbolique
Propriété
sinh est une bijection de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Définition
On définit la fonction argument sinus hyperbolique , notée arsinh la réciproque de
sinh
{\displaystyle \sinh }
.
Début d’un théorème
Expression explicite de arsinh
∀
x
∈
R
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
.
Fin du théorème
Argument tangente hyperbolique
Propriété
tanh établit une bijection de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
sur ]–1, 1[.
Définition
On définit la fonction argument tangente hyperbolique , notée artanh la réciproque de
tanh
{\displaystyle \tanh }
.
Début d’un théorème
Expression explicite de artanh
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}
.
Fin du théorème
Dérivabilité
Composition des fonctions hyperboliques directes et réciproques
Début d’un théorème
Théorème
∀
x
∈
[
1
,
+
∞
[
cosh
(
arcosh
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \cosh(\operatorname {arcosh} x)=x}
∀
x
∈
[
1
,
+
∞
[
sinh
(
arcosh
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}
∀
x
∈
R
arcosh
(
cosh
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arcosh} (\cosh x)=|x|}
∀
x
∈
[
1
,
+
∞
[
tanh
(
arcosh
x
)
=
x
2
−
1
x
{\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}
∀
x
∈
]
1
,
+
∞
[
coth
(
arcosh
x
)
=
x
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x\in \left]1,+\infty \right[\quad \operatorname {coth} (\operatorname {arcosh} x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
∀
x
∈
R
cosh
(
arsinh
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {x^{2}+1}}}
∀
x
∈
R
sinh
(
arsinh
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x}
∀
x
∈
R
arsinh
(
sinh
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} (\sinh x)=x}
∀
x
∈
R
tanh
(
arsinh
x
)
=
x
x
2
+
1
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
∀
x
∈
R
∗
coth
(
arsinh
x
)
=
x
2
+
1
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad \operatorname {coth} (\operatorname {arsinh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}}
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
cosh
(
artanh
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
sinh
(
artanh
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
tanh
(
artanh
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \tanh(\operatorname {artanh} x)=x}
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
coth
(
artanh
x
)
=
1
x
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {coth} (\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{x}}}
∀
x
∈
]
−
∞
,
1
[
∪
]
1
,
+
∞
[
cosh
(
arcoth
x
)
=
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \cosh(\operatorname {arcoth} x)={\frac {|x|}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
∀
x
∈
]
−
∞
,
1
[
∪
]
1
,
+
∞
[
sinh
(
arcoth
x
)
=
|
x
|
x
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \sinh(\operatorname {arcoth} x)={\frac {|x|}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
∀
x
∈
]
−
∞
,
1
[
∪
]
1
,
+
∞
[
tanh
(
arcoth
x
)
=
1
x
{\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \tanh(\operatorname {arcoth} x)={\frac {1}{x}}}
∀
x
∈
]
−
∞
,
1
[
∪
]
1
,
+
∞
[
coth
(
arcoth
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \operatorname {coth} (\operatorname {arcoth} x)=x}
Fin du théorème