Produit scalaire dans l'espace/Projection orthogonale et produit scalaire dans l'espace

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Projections orthogonales dans l'espace

Définition

• Soient P un plan et M un point de l'espace.

La droite $\Delta _{M}$ passant par M et perpendiculaire à P coupe P en M', le projeté orthogonal de M sur P.

• Soit D une droite et M un point de l'espace.

Le plan $P_{M}$ passant par M et perpendiculaire à D coupe D en $M''$, le projeté orthogonal de M sur D.

Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace

Définition

Soient ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {v}}$ deux vecteurs de l'espace.

Soient A, B et C trois points tels que ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {v}}$.

Le produit scalaire de ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {v}}$ en tant que vecteurs de l'espace est

${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}$ en tant que vecteurs du plan (ABC).

Expressions du produit scalaire

Propriété

• ${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=AB\times AC\times \cos({\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}})$
• Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) :
• ${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=AB\times AH$ si $H\in \left(AB\right)$
• ${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=-AB\times AH$ si $H\not \in \left(AB\right)$
• Soit un repère orthonormé de l'espace $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}},{\overrightarrow {k}}$) dans lequel ${\overrightarrow {u}}(x,y,z)$ et ${\overrightarrow {v}}(x',y',z')$,

On a alors : ${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=xx'+yy'+zz'$

Propriétés du produit scalaire

Les propriétés de symétrie et de linéarité du produit scalaire sont conservées dans l'espace.