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Exercice 5-1

$E={\mathcal {C}}^{2}([0,1],\mathbb {R} )$.

On pose $\forall (f,g)\in E^{2}\quad (f|g)=\int _{0}^{1}\left(fg+f'g'\right)$.

1. Vérifier que $(\cdot |\cdot )$ est un produit scalaire sur E.
2. On pose $V=\{f\in E\mid f(0)=f(1)=0\}$ et $W=\{f\in E\mid f''=f\}$.
   1. Vérifier que V et W sont orthogonaux.
   2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
3. On pose $F=\{f\in E\mid f(0)=\alpha ,~f(1)=\beta \}$. Calculer $\inf _{f\in F}\int _{0}^{1}\left(f^{2}+f'^{2}\right)$.

Solution

1. On reconnait $(\cdot |\cdot )$ comme étant la restriction du produit scalaire canonique sur ${\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ :
   • la bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale ;
   • la symétrie est évidente ;
   • cette forme est définie positive car pour toute fonction $f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ non nulle, $\int _{0}^{1}\left(f^{2}+f'^{2}\right)>0$.

   $(\cdot |\cdot )$ est donc bien un produit scalaire sur ${\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ et, par restriction, sur E. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé ${\mathcal {C}}^{2}([0,1],\mathbb {R} )$ par ${\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ (la définition de $W$ garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe $C^{\infty }$) sans changer un iota de ce qui suit.

2. 1. Soient $v\in V$ et $w\in W$. Une intégration par parties donne :

      $(v|w)=\left[vw'\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}\left(vw-vw''\right)=0+\int _{0}^{1}v\left(w-w''\right)=0$.

   2. Soit $f\in E$. Notons $\alpha =f(0),\beta =f(1)$, et cherchons $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ tels que la fonction $g:x\mapsto \lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x}$ (qui appartient à $W$ donc à $V^{\perp }$) vérifie : $f-g\in V$. Ainsi, $f-g$ sera le projeté orthogonal de $f$ sur $V$ (et cela prouvera de plus que $V$ et $W$ sont non seulement orthogonaux, mais supplémentaires). La condition sur $\lambda ,\mu$ est :

      $\lambda +\mu =\alpha$ et $\lambda \mathrm {e} +\mu \operatorname {e} ^{-1}=\beta$

      donc la solution est :

      $\lambda ={\frac {\mathrm {e} \beta -\alpha }{\operatorname {e} ^{2}-1}},\quad \mu =\mathrm {e} \,{\frac {\mathrm {e} \alpha -\beta }{\operatorname {e} ^{2}-1}}$.

3. Soit $f\in F$. Alors, $F=f+V$ donc

   $\inf _{h\in F}\|h\|^{2}=d(0,F)^{2}=d(0,f+V)^{2}=d(-V,f)^{2}$ est égal, avec les notations de la réponse 2.2, à

   $\|g\|^{2}=\left[gg'\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}g\left(g-g''\right)=\left[gg'\right]_{0}^{1}+0=\left(\lambda ^{2}\operatorname {e} ^{2}-\mu ^{2}\operatorname {e} ^{-2}\right)-\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)={\frac {(\mathrm {e} \beta -\alpha )^{2}+(\mathrm {e} \alpha -\beta )^{2}}{\operatorname {e} ^{2}-1}}$.

 

Exercice 5-2

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs de $E$. On pose $\varphi (x)={\frac {\langle x|a\rangle \langle x|b\rangle }{\|x\|^{2}}}$.

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de $\varphi$ sur $E\setminus \{0\}$.

Solution

Fixons une base orthonormée d'un plan contenant $a$ et $b$. La matrice dans cette base de la forme quadratique $x\mapsto \langle x|a\rangle \langle x|b\rangle$ (restreinte au plan) est diagonalisable dans une base orthonormée et ses deux valeurs propres sont (tous calculs faits) : ${\frac {\langle a|b\rangle \pm \|a\|\|b\|}{2}}$. Ce sont donc les valeurs minimum et maximum (atteintes) de la forme quadratique sur le cercle unité du plan, ou encore, de $\varphi$ sur $E\setminus \{0\}$.

 

Exercice 5-3

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ continue strictement positive.

1. Démontrer l'existence d'une famille $(P_{n})$ de polynômes telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad \deg(P_{n})=n$ et $\forall n,m\in \mathbb {N} \quad \int _{a}^{b}P_{n}P_{m}f=\delta _{n,m}$.
2. Démontrer qu'alors, chaque polynôme $P_{n}$ admet $n$ racines simples dans $\left]a,b\right[$.

Solution

1. L'application $\left(P,Q\right)\mapsto \langle P,Q\rangle :=\int _{a}^{b}PQf$ est un produit scalaire sur $\mathbb {R} [X]$. En appliquant à la base canonique $\left(X^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ l'algorithme de Gram-Schmidt, on obtient une base $(P_{n})$ de $\mathbb {R} [X]$ orthonormée pour ce produit scalaire.
2. Soit m ≤ n le nombre des points de $\left]a,b\right[$ où P_n change de signe ; notons $x_{1},\dots ,x_{m}$ ces points (ce sont les racines de P_n d'ordre impair appartenant à $\left]a,b\right[$). On va montrer que m = n. Soit $S(X)=\prod _{j=1}^{m}\left(X-x_{j}\right)$ ; ce polynôme de degré m change de signe en chaque point x_j ; le polynôme SP_n est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur $\left]a,b\right[$ sauf aux points x_j, et il en est donc de même du produit $SP_{n}f$. Ainsi, le réel $\langle S,P_{n}\rangle$ — l'intégrale de ce produit — est non nul. Mais par construction, P_n est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de S doit être n.

 

Exercice 5-4

Soient $E$ l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans $\mathbb {R}$ de classe C¹ et $N$ l'application définie sur $E$ par :

$\forall f\in E\quad N(f)=\left(f^{2}(0)+\int _{0}^{1}(f'(t))^{2}\,\mathrm {d} t\right)^{1/2}$.

Montrer que $N$ est une norme euclidienne sur $E$ et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée.

Solution

On a évidemment $N(f)>0$ pour toute fonction $f\in E$ non nulle, et $N(f)^{2}=B(f,f)$, où $B$ est le produit scalaire défini par

$\forall (f,g)\in E^{2}~~B(f,g)=f(0)g(0)+\int _{0}^{1}f'(t)g'(t)\,\mathrm {d} t$.