Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans R

Exercice 1

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ les fractions rationnelles

$f(X):={\frac {2}{\left(X-1\right)X\left(X+1\right)}},\ g(X):={\frac {2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}}{\text{ et }}h(X):={\frac {2}{\left(X+1\right)\left(X+2\right)\left(X+3\right)}}.$

Solution

$f(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{X}}+{\frac {c}{X+1}}\quad (*)$.

En multipliant $(*)$ par $X-1$ puis en posant $X=1$, on trouve

$a={\frac {2}{1\left(1+1\right)}}=1$.

En multipliant $(*)$ par $X$ puis en posant $X=0$, on trouve

$b={\frac {2}{\left(0-1\right)\left(0+1\right)}}=-2$.

En multipliant $(*)$ par $X+1$ puis en posant $X=-1$, on trouve

$c={\frac {2}{\left(-1-1\right)\left(-1\right)}}=1$

(on pouvait aussi remarquer que $f$ est impaire donc $c=a$).

$f(X)={\frac {1}{X-1}}-{\frac {2}{X}}+{\frac {1}{X+1}}$.

On peut calculer de même les décompositions de $g$ et $h$, ou les déduire de celle de $f$ :

$g(X)=f(X+1)={\frac {1}{X}}-{\frac {2}{X+1}}+{\frac {1}{X+2}}$.

$h(X)=f(X+2)={\frac {1}{X+1}}-{\frac {2}{X+2}}+{\frac {1}{X+3}}$.

 

Exercice 2

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ la fraction rationnelle

$f(X):={\frac {1}{1+X^{4}}}$.

Solution

$X^{4}+1=\left(X+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)=\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)$

donc

${\frac {1}{X^{4}+1}}={\frac {aX+b}{X^{2}+{\sqrt {2}}X+1}}+{\frac {cX+d}{X^{2}-{\sqrt {2}}X+1}}$.

Par parité, $c=-a$ et $d=b$. Puis $b={\frac {1}{2}}$ (par évaluation en $0$). Puis (en réduisant au même dénominateur et en identifiant le coefficient de degré 2 du numérateur) $-2a{\sqrt {2}}+1=0$. Donc la décomposition en éléments simples est

$f(X)=g(X)+g(-X)$ avec $g(X):={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}X+{\frac {1}{2}}}{X^{2}+{\sqrt {2}}X+1}}$.

 

Exercice 3

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle

$f(X):={\frac {1}{\left(X^{2}-3X+2\right)^{2}}}$.

Solution

$X^{2}-3X+2=\left(X-1\right)\left(X-2\right)$ donc

$f(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{\left(X-1\right)^{2}}}+{\frac {c}{X-2}}+{\frac {d}{\left(X-2\right)^{2}}}$.

Après réduction au même dénominateur :

${\begin{aligned}1&=\left(a\left(X-1\right)+b\right)\left(X-2\right)^{2}+\left(c\left(X-2\right)+d\right)\left(X-1\right)^{2}\\&=\left(aX+b-a\right)\left(X^{2}-4X+4\right)+\left(cX+d-2c\right)\left(X^{2}-2X+1\right)\\&=\left(a+c\right)X^{3}+\left(b-5a+d-4c\right)X^{2}+\left(8a-4b+5c-2d\right)X+4b-4a+d-2c.\end{aligned}}$

Par identification des coefficients et résolution du système :

$a=2,\quad c=-2,\quad b=d=1$

donc

$f(X)={\frac {2}{X-1}}+{\frac {1}{\left(X-1\right)^{2}}}-{\frac {2}{X-2}}+{\frac {1}{\left(X-2\right)^{2}}}$.

 

Exercice 4

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle

$f(X):={\frac {X^{2}}{X+1}}$.

Solution

$f(X)={\frac {X^{2}-1+1}{X+1}}=X-1+{\frac {1}{X+1}}$.

 

Voir aussi

Mathématiques en MPSI, devoir 1, exercice 1.