1° Notons
le spectre (non nécessairement fini) de
. Par hypothèse,
, où
est le sous espace propre de
relatif à
.
Un vecteur
de
se décompose suivant cette somme directe sous la forme
, avec seulement un nombre fini (
) de composantes
non nulles.
- Supposons que
est injective sur
.
est propre pour
pour une valeur propre
si et seulement si
, c'est-à-dire (par unicité de la décomposition)
![{\displaystyle \forall \lambda \in S\quad (x_{\lambda }=0{\text{ ou }}P(\lambda )=\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a14a2e384a533ad288c6c44aa59dfaec4f2363)
- ou encore (puisque les
sont non tous nuls et que
est injective sur
) :
.
- Supposons que
est aussi injective sur le spectre de
, et que
.
- D'après le premier point,
et
ont alors mêmes sous-espaces propres, avec mêmes valeurs propres associées, donc
.
2° Simple application à
,
et
.
3° (Il existe au plus une telle matrice H d'après la question 2, et son existence prouvera que M est hermitienne positive.)
Cherchons les valeurs propres de M :
Déterminons les sous espaces propres associés :
V(0) = Ker(M) = {(x,y,z) | 2x + 2jy = 0 et z = 0}.
On trouve que V(0) est engendré par le vecteur suivant, de norme 1 (pour le produit hermitien canonique sur ℂ3) :
.
V(1) = Ker(M – I) = {(x,y,z) | x + 2jy = 0 et 2j2x + y=0}. On trouve que V(1) est engendré par le vecteur de norme 1 suivant :
.
V(4) = Ker(M – 4I) = {(x,y,z) | x – jy = 0 et z = 0}. On trouve que V(4) est engendré par le vecteur de norme 1 suivant :
.
On a donc :
.
Calculons
. Comme M est hermitienne, les trois colonnes de P sont non seulement de norme 1 mais orthogonales, si bien que P est unitaire, donc :
.
La matrice diagonale
est le carré de la matrice hermitienne positive
et M = PE2P-1 = (PEP-1)(PEP-1) = H2 avec H := PEP-1 qui est, comme E, hermitienne positive.
Après calcul, on trouve :
4° Notons d1, d2, ... , dn les éléments diagonaux de D (réels positifs ou nuls) et A1, A2, ... , An les matrices colonnes de A.
signifie que :
On peut donc normaliser chaque vecteur colonne Ah de A correspondant à une valeur dh ≠ 0 et poser :
et ensuite compléter en une base orthonormale (U1,...Un) de ℂn.
La matrice U, matrice de passage de la base canonique à U1,...Un, est évidemment unitaire, et Ah = dhUh pour tout indice h, d'où A = UD.
5° Posons
.
M est hermitienne positive car :
Il existe donc une matrice unitaire W et une matrice diagonale D positive telles que M = WD2W-1 d'où, en posant H = WDW-1 :
et H est hermitienne positive et c’est la seule telle H2 = M d’après la question 2.
De plus :
D'où d’après la question 4, AW = VD avec V unitaire, si bien que
avec
unitaire.
- Premier cas
![{\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}-\mathrm {j} &-\mathrm {j} ^{2}&\mathrm {j} \\-1&-\mathrm {j} &1\\2\mathrm {j} ^{2}&2&\mathrm {j} ^{2}\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad ^{t}{\overline {A}}A=M={\begin{pmatrix}2&2j&0\\2\mathrm {j} ^{2}&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912458cdf7098a43f28d887e15ce48e4c67ab0ac)
- et M = H2 avec :
![{\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&\mathrm {j} &0\\\mathrm {j} ^{2}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d367ba44336dfd9f44211388dc22677423c37a)
- d'après la question 3 et A = U.H avec par exemple :
.
- Second cas
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-1&-1\\-1&-1&-2\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad ^{t}{\overline {A}}A={\begin{pmatrix}6&5&5\\5&6&5\\5&5&6\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0100f75f6c92da55593906821772753b1cfab1f)
- Cette dernière matrice est diagonalisable et l’on a :
![{\displaystyle W^{-1}\left(^{t}{\overline {A}}A\right)W=D^{2}{\text{ avec }}D^{2}={\begin{pmatrix}16&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{2}{\text{ et }}W={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {6}}{6}}\\{\frac {\sqrt {3}}{3}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {6}}{6}}\\{\frac {\sqrt {3}}{3}}&0&-{\frac {\sqrt {6}}{3}}\end{pmatrix}}{\text{ et }}W^{-1}=^{t}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9164acf8633a99f1ffbef785dd1105d3688afc5)
- D'où :
.
- U est ici unique puisque A est inversible donc :
.