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Espace euclidien : Coniques Espace euclidien/Coniques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définitions
Soit :
Q une forme quadratique non nulle sur
P
→
{\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}
l une forme linéaire sur
P
→
{\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}
O
∈
P
{\displaystyle {\rm {O}}\in {\mathcal {P}}}
k
∈
R
{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
Définition
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Une conique est un ensemble de points de la forme
{
M
∈
P
|
Q
(
O
M
→
)
+
l
(
O
M
→
)
=
k
}
{\displaystyle \left\{{\rm {M}}\in {\mathcal {P}}|Q\left({\overrightarrow {OM}}\right)+l\left({\overrightarrow {OM}}\right)=k\right\}}
Dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle (O;{\vec {i}},{\vec {j}})}
de
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
, il existe
(
a
,
b
,
c
,
d
,
e
)
∈
R
5
{\displaystyle (a,b,c,d,e)\in \mathbb {R} ^{5}}
tel que la conique s'écrive
{
M
x
y
∈
P
,
a
x
2
+
2
b
x
y
+
c
y
2
⏟
+
d
x
+
e
y
⏟
=
k
}
Q
(
O
M
→
)
l
(
O
M
→
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\left\{{\rm {M}}{\begin{array}{|l}x\\y\end{array}}\in {\mathcal {P}}~,~\right.&\underbrace {ax^{2}+2bxy+cy^{2}} &+\underbrace {dx+ey} &\left.{\begin{array}{l}~\\~\end{array}}=k\right\}\\&Q\left({\overrightarrow {OM}}\right)&l\left({\overrightarrow {OM}}\right)&\\\end{matrix}}}
La matrice dans la base
(
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}
de l'endomorphisme autoadjoint u associé à Q est
a
b
b
c
{\displaystyle {\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}}
Il existe une base
(
I
→
,
J
→
)
{\displaystyle ({\vec {I}},{\vec {J}})}
de
P
→
{\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}
dans laquelle la matrice de u est
λ
0
0
μ
{\displaystyle {\begin{matrix}\lambda &0\\0&\mu \end{matrix}}}
Conique dégénérée
On dit que la conique est non dégénérée
ssi aucune valeur propre de l'endomorphisme associé à la forme quadratique n'est nulle
ssi
a
c
−
b
2
≠
0
{\displaystyle ac-b^{2}\not =0}
Coniques
Coniques non dégénérées
Début d’un principe
Fin du principe
Début d’un principe
Fin du principe
Conique dégénérée
Début d’un principe
Type parabole
Si une valeur propre est nulle, ie
a
c
−
b
2
=
0
{\displaystyle ac-b^{2}=0}
, alors la conique est de type parabole .
Elle peut être :
vide
réduite à une droite
réduite à deux droites parallèles
d'équation réduite
Y
2
=
2
p
X
{\displaystyle Y^{2}=2pX}
où a est le demi-grand-axe
où b est le demi-petit-axe
Fin du principe