Fonctions homographiques/Définition

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Définition

Définition

Une fonction homographique est une fonction $f$ qui peut être définie par une expression de la forme :

$f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$

avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels.

• Les deux réels $c$ et $ad-bc$ doivent être non nuls pour que $f$ ne soit pas simplement une fonction affine.
• La fonction $f$ est définie en tout point $x$ tel que $cx+d\neq 0$, c'est-à-dire $x\neq -{\frac {d}{c}}$.

Début de l'exemple

Exemples

• $f_{1}:x\mapsto {\frac {2x+3}{3x+4}}$
• $f_{2}:x\mapsto {\frac {2x-3}{-3x+4}}$
• $f_{3}:x\mapsto {\frac {-2x+3}{3x}}$

1. Préciser les coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ dans chaque cas.
2. Pour quelle valeur de $x$ ces trois fonctions peuvent-elles être définies ?

Solution

1) f1: a=2; b=3; c=3; d=4

f2: a=2; b=-3; c=-3; d=4

f3: a=-2; b=3; c=3; d=0

 

Fin de l'exemple

Courbe représentative

Début d’un théorème

Théorème

La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole.

Fin du théorème

Remarque : ces hyperboles ne diffèrent de l'hyperbole représentative de la fonction inverse que par :

• leur « position » ;
• leur « taille ».

Début de l'exemple

Exemple

Représenter graphiquement les fonctions $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$.

Solution

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Fin de l'exemple

Différentes expressions pour une fonction homographique

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Début de l'exemple

Exemple

Dans les quatre cas suivants, donner l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité a un sens puis (pour ces valeurs) la démontrer.

1. ${\frac {2x+3}{3x+4}}={\frac {x+1{,}5}{1{,}5x+2}}$
2. ${\frac {3-2x}{3x-4}}={\frac {2x-3}{-3x+4}}$
3. ${\frac {3-2x}{3x-4}}={\frac {-2x+3}{3x-4}}$
4. ${\frac {2x-3}{-3x+4}}={\frac {1}{3(3x-4)}}-{\frac {2}{3}}$

Solution

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Fin de l'exemple