En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Annexe : Fonction racine carrée Étude et tracé d'une fonction/Annexe/Fonction racine carrée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La fonction racine carrée est la fonction qui à tout associe la racine carrée de , notée .
Si la fonction racine carrée n’est pas définie sur mais seulement sur , c’est parce qu'un nombre négatif n’a pas de racine carrée dans . Afin de donner un résultat numérique à la racine carrée d'un nombre négatif, il faut se placer dans . Ainsi la fonction étudiée dans ce cours pourrait être qualifiée de « Fonction racine carrée réelle ».
Fonction dérivée
Propriété
La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : .
Démonstration
Notons la fonction racine carrée.
Si alors, pour tout tel que ,
.
On obtient alors . La fonction est bien dérivable pour tout réel strictement positif.
Si alors, pour tout , on a
et . Donc n’est pas dérivable en .
Corollaire
La fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition.
Représentation graphique de la fonction racine carrée (en vert) et de sa dérivée (en rouge).
Propriété complémentaire
Propriété
Pour tous réels , on a : .
(Pour cette raison, la fonction racine carrée est dite « -höldérienne ».)