Fonctions affines et linéaires/Équation réduite d'une droite
Cas général
Le plan est muni d'un repère .
Théorème
Soient a et b deux nombres réels.
L'ensemble des points M(x;y) du plan qui vérifient l'équation :
est une droite D du plan.
Le coefficient a s’appelle coefficient directeur de la droite D.
Le coefficient b s’appelle ordonnée à l'origine de la droite D.
Cas particuliers
Propriété
- Si l'ordonnée à l'origine b est nulle (b = 0), D passe par le point origine, on dit que la fonction est linéaire.
- Le coefficient directeur a est nul (a = 0) si et seulement si D est parallèle à l'axe des abscisses.
- Si a et b sont nuls, la droite D n'est autre que l'axe des abscisses.
Coefficient directeur
Propriété
Considérons une droite D d'équation
et deux points et de D
alors le coefficient directeur a vaut :
.
Positions relatives de deux droites
Théorème
Dans le plan, deux droites peuvent avoir les positions relatives suivantes :
- strictement parallèles si elles n'ont aucun point d'intersection ;
- confondues quand elles ont tous leurs points en commun ;
- sécantes si elles ont un point d'intersection unique.
Étudier les positions relatives de deux droites consiste à déterminer dans quel cas l’on se trouve, et si les droites sont sécantes, à déterminer les coordonnées du point d'intersection.
Théorème
Deux droites sont :
- parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux ;
- strictement parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux et leurs ordonnées à l'origine sont différentes ;
- sécantes si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents.
Coefficient directeur et alignement
Théorème
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si
- les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) sont égaux
ou
- les droites (AB) et (AC) sont toutes deux parallèles à l'axe des ordonnées.