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Série et transformée de Fourier en physique : Série de Fourier
Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps d'une grandeur notée .
Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.
- La période est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : .
- La fréquence , exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
- La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime .
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Théorème
Tout signal périodique de période peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de .
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La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.
Coefficients réels
Dans le domaine temporel
Si est une grandeur périodique de période , et un entier alors :
ou de façon condensée :
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,
ou
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Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit :
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,
,
,
.
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Dans le domaine des angles
On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation et de période ,sachant que , on applique le changement de variable . Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.
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,
avec, et quel que soit ,
,
.
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Coefficients complexes
En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.
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,
avec, et quel que soit ,
.
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Relation entre coefficients réels et coefficients complexes : démonstration.
Partant de l’expression de périodique de période ,
- ,
et en exprimant, à l'aide des formules d'Euler,
- ,
- ,
il vient :
- ,
- ,
- .
Or d'après les définitions des et : et , d'où :
- .
En observant que , on peut poser : . peut alors s'exprimer :
- .
Pour exprimer les coefficients , on remplace les coefficients et par leur expression.