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Limites d'une fonction : Exemple corrigé
Limites d'une fonction/Exemple corrigé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Début de l'exemple
Exemple
Soit
.
- Déterminer l’ensemble de définition de f.
- Quelles sont les limites de f aux bords de son domaine de définition ?
Fin de l'exemple
- Soit
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab)
![{\displaystyle -3x^{2}+5x+2=0\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{3}}{\mbox{ ou }}x=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95df5ea4368578776fc9c56ef0d75dbb943c6ef7)
Le domaine de définition de f est
|
Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition[modifier | modifier le wikicode]
- Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en
et en 2.
Soit
On met en facteur les termes de plus haut degré :
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-{\frac {3}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a617f56dc490ae8ed35a1711aeeb7ab0b0d4459)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551463c04157eb8fc5894e260d1c5338b0afbff9)
- Donc
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1-0+0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f077923f519b5d189420589d06a26f41c379858f)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {5}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a590b95dbf58dca0101d3bf2454a65698ea92868)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551463c04157eb8fc5894e260d1c5338b0afbff9)
- Donc
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3+0+0=-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff290f4e91f67f8e962679cae42aadb35ea11665)
- Donc
, c'est-à-dire
|
- De même,
et ![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e66b2adfa66211a525d780b89b0690a1460f682)
Donc
|
On pose les deux fonctions suivantes sur
:
![{\displaystyle N:x\mapsto x^{2}-3x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b187015ba205bb945124d35976f26ac3a8eabe5)
![{\displaystyle D:x\mapsto -3x^{2}+5x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1895bbcb330c88b685c635dc4e709dad0334bab)
On a ainsi pour tout
![{\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}N(x)=N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa59eaf56138f731ba9826a83b691870ed3926e8)
![{\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}D(x)=D\left(-{\frac {1}{3}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff726471705c0134781695e9308efb00c3b2ed8)
On a devant nous une limite de la forme
. Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de
.
donc N est positive au voisinage de ![{\displaystyle x=-{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74680ae2d1aeaf94947db434788b603ee1789151)
- La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&2&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e76ccade89fb32a2f8d61b7629ef12bbd14e825)
Nous pouvons à présent dire que :
- pour
![{\displaystyle x<-{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd8169512cc72b4285b1ba1a1aa832527d52331)
et ![{\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fc98481b0ee323f3fe843d5c9016c720ddcd28)
Ainsi
|
- pour
![{\displaystyle x\in \left]-{\frac {1}{3}};2\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfdce7fa93654af39ffedf00ec66dae57a26787)
et ![{\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fc98481b0ee323f3fe843d5c9016c720ddcd28)
Ainsi,
|
![{\displaystyle \lim _{x\to 2}N(x)=N(2)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83d1274de6ed2ccc22522c7969f88150ee0fcda)
![{\displaystyle \lim _{x\to 2}D(x)=D(2)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668b653fb35b7592ee1658fbcb2815d6ce15f163)
Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type «
».
Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme
et
et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.
Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.
- On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut
.
- On en déduit que pour tout
![{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},N(x)=(x-1)(x-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f970cd866fcac8f6961f53f8793df112208624d4)
- Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de
et de ![{\displaystyle (x-2)(x-\alpha )=x^{2}-(\alpha +2)x+2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fae9d8bc7bf9e5f99b9995a9e6391bd3d65939)
- Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.
La question 1 nous apprend directement que pour tout
Finalement, soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {N(x)}{D(x)}}\\&={\frac {(x-1)(x-2)}{-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)}}\\&={\frac {x-1}{-3x-1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cad7d345bc9764808bff428238515935d3a2a2)
On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :
![{\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)={\frac {2-1}{-3\times 2-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc884cb90728eb36ca4fea57d7adb1ee25a4d26)
Finalement :
|