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Exercice : Sur les calculs algébriquesCalcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les calculs algébriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1-1 1° Calculez
(
1
2
+
i
3
)
4
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{4}}
2° Déterminez les nombres complexes
z
{\displaystyle z}
z
4
=
73
16
−
11
2
i
3
{\displaystyle z^{4}={\frac {73}{16}}-{\frac {11}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}
Exercice 1-2 Le conjugué d'un élément
z
{\displaystyle z}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
E l'ensemble des éléments
u
{\displaystyle u}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
u
+
u
¯
+
u
u
¯
=
0
{\displaystyle u+{\bar {u}}+u{\bar {u}}=0}
Représenter l'ensemble des images des éléments de E dans le plan complexe.
Solution
u
+
u
¯
+
u
u
¯
=
|
1
+
u
|
2
−
1
{\displaystyle u+{\bar {u}}+u{\bar {u}}=|1+u|^{2}-1}
E est le cercle de rayon
1
{\displaystyle 1}
−
1
{\displaystyle -1}
Exercice 1-3 Soit
f
(
z
)
=
z
2
+
z
+
1
z
3
+
z
2
+
1
{\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}+z+1}{z^{3}+z^{2}+1}}}
Calculer
f
(
1
+
i
)
{\displaystyle f\left(1+\mathrm {i} \right)}
f
(
1
−
i
)
{\displaystyle f(1-\mathrm {i} )}
Solution
(
1
+
i
)
2
=
2
i
{\displaystyle \left(1+\mathrm {i} \right)^{2}=2\mathrm {i} }
(
1
+
i
)
3
=
2
i
−
2
{\displaystyle \left(1+\mathrm {i} \right)^{3}=2\mathrm {i} -2}
f
(
1
+
i
)
=
2
+
3
i
−
1
+
4
i
=
(
2
+
3
i
)
(
−
1
−
4
i
)
17
=
10
−
11
i
17
{\displaystyle f\left(1+\mathrm {i} \right)={\frac {2+3\mathrm {i} }{-1+4\mathrm {i} }}={\frac {\left(2+3\mathrm {i} \right)\left(-1-4\mathrm {i} \right)}{17}}={\frac {10-11\mathrm {i} }{17}}}
donc
f
(
1
−
i
)
=
10
+
11
i
17
{\displaystyle f\left(1-\mathrm {i} \right)={\frac {10+11\mathrm {i} }{17}}}
Exercice 1-4 Soient
a
,
b
∈
Z
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
(
x
,
y
)
∈
Z
2
{\displaystyle \left(x,y\right)\in \mathbb {Z} ^{2}}
x
2
+
y
2
=
(
a
2
+
b
2
)
n
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{n}}
Solution
On peut choisir par exemple
x
+
i
y
=
(
a
+
i
b
)
n
{\displaystyle x+\mathrm {i} y=\left(a+\mathrm {i} b\right)^{n}}
x
=
∑
(
n
2
k
)
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
b
2
k
{\displaystyle x=\sum {\binom {n}{2k}}(-1)^{k}a^{n-2k}b^{2k}}
y
=
∑
(
n
2
k
+
1
)
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
−
1
b
2
k
+
1
{\displaystyle y=\sum {\binom {n}{2k+1}}(-1)^{k}a^{n-2k-1}b^{2k+1}}
Exercice 1-5 Calculez
∑
k
=
0
n
−
1
i
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mathrm {i} ^{k}}
Solution
∑
k
=
0
n
−
1
i
k
=
1
−
i
n
1
−
i
=
{
0
si
n
≡
0
mod
4
1
si
n
≡
1
mod
4
1
+
i
si
n
≡
2
mod
4
i
si
n
≡
3
mod
4
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mathrm {i} ^{k}={\frac {1-\mathrm {i} ^{n}}{1-\mathrm {i} }}={\begin{cases}0&{\text{si }}n\equiv 0{\bmod {4}}\\1&{\text{si }}n\equiv 1{\bmod {4}}\\1+\mathrm {i} &{\text{si }}n\equiv 2{\bmod {4}}\\\mathrm {i} &{\text{si }}n\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}
