Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Résolution d'équations

Exercice 1

Résoudre l'équation :

$2\arccos x=\arcsin {(2x)}$.

Solution

Un réel $x$ est solution si et seulement s'il existe $\alpha \in \left(2\left[0,\pi \right]\right)\cap \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ tel que :

$\cos {\frac {\alpha }{2}}=x\quad {\text{et}}\quad \sin \alpha =2x$.

Or $\forall \alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\quad 2\cos {\frac {\alpha }{2}}\geq {\sqrt {2}}>1\geq \sin \alpha$.

Il n'y a donc pas de solution.

 

Exercice 2

Résoudre l'équation :

$\arctan x+\arctan {\left(x+1\right)}={\frac {\pi }{4}}$.

Solution

Un réel $x$ est solution si et seulement s'il existe $\alpha ,\beta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ tels que

$\tan \alpha =x,\quad \tan \beta =x+1\quad {\text{et}}\quad \alpha +\beta ={\frac {\pi }{4}}$,

c'est-à-dire s'il existe $\alpha \in \left]-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ tel que

$\tan \alpha =x\quad {\text{et}}\quad \tan {\left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}=x+1$,

ou encore, si

$x\in \left]-1,+\infty \right[\quad {\text{et}}\quad {\frac {1-x}{1+x}}=x+1$.

Or $\left(x+1\right)^{2}-\left(1-x\right)=x\left(x+3\right)$ et $-3\notin \left]-1,+\infty \right[$.

La seule solution est donc $x=0$.

 

Exercice 3

Résoudre l'équation :

$\arccos x=\arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}$.

Solution

On vérifie d'abord que $\arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}$ est bien dans [0;π]. Puis on calcule la solution :

${\begin{aligned}x&=\cos \left(\arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}\right)\\&=\cos \left(\arcsin {\frac {1}{3}}\right)\cos \left(\arccos {\frac {1}{4}}\right)-\sin \left(\arcsin {\frac {1}{3}}\right)\sin \left(\arccos {\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{6}}-{\frac {\sqrt {15}}{12}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 4

Résoudre l'équation :

$\arcsin {(\tan x)}=x$.

Solution

${\begin{aligned}\arcsin {(\tan x)}&=x\Leftrightarrow -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}\tan x=\sin x\\&\Leftrightarrow -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}\left(\sin x=0{\text{ ou }}\cos x=1\right)\\&\Leftrightarrow x=0.\end{aligned}}$