Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre

Exercice 1

On considère le système $\left(S\right)$ :

${\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}$

Résoudre $\left(S\right)$, en précisant les valeurs de $m$ pour lesquelles il est de Cramer.

Solution

• Si $m=0$,

  $(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x=0\\y=1\\z{\text{ quelconque.}}\end{cases}}$

• Si $m\neq 0$,

  ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\x&-&my&+&z&=&2\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\&&&&(1-m^{2})z&=&2(1-m)\\&&(1+m^{2})y&-&2m^{3}z&=&1-m-2m^{2}.\end{cases}}\end{aligned}}$

  • Si $m=1$,

    ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&y&+&z&=&2\\&&2y&-&2z&=&-2\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}y=z-1\\x=y-z+2\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}y=z-1\\x=1\\z{\text{ quelconque.}}\end{cases}}\end{aligned}}$

  • Si $m=-1$, $(S)$ n'a pas de solution car la deuxième équation devient $0z=4$.
  • Si $m\neq 0,1,-1$, $(S)$ est de Cramer et

    ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}z={\frac {2}{1+m}}\\y={\frac {2m^{3}z+1-m-2m^{2}}{1+m^{2}}}\\x=my-m^{2}z+2m\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}z={\frac {2}{1+m}}\\y={\frac {(m-1)^{2}(2m+1)}{(1+m^{2})(1+m)}}\\x={\frac {m(2m^{2}-3m+3)}{1+m^{2}}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

 

Exercice 2

On considère le système linéaire

$(S):{\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}}$

dépendant des paramètres réels $m,a,b,c$.

1. Donner une expression factorisée du déterminant de $(S)$.
2. Discuter et résoudre le système $(S)$.

Solution

1. $m^{3}-6m+9=(m+3)(m^{2}-3m+3)$.
2. • Si $m\neq -3$, $(S)$ est de Cramer et sa solution $(x,y,z)$ est donnée par :

     ${\begin{cases}x&={\frac {a(m^{2}-2)+(4-m)b+(1-2m)c}{m^{3}-6m+9}}\\y&={\frac {(1-2m)a+(m^{2}-2)b+(4-m)c}{m^{3}-6m+9}}\\z&={\frac {(4-m)a+(1-2m)b+(m^{2}-2)c}{m^{3}-6m+9}}.\end{cases}}$

   • Si $m=-3$,

     ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}-3x+y+2z=a\\2x-3y+z=b\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}7y-7z=a+3c\\-7y+7z=b-2c\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}0=a+b+c\\z={\frac {b-2c}{7}}+y\\x={\frac {3b+c}{7}}+y\end{cases}}\\\end{aligned}}$

     donc :

     • si $a+b+c\neq 0$, $(S)$ n'a pas de solution ;
     • si $a=-b-c$, l'ensemble des solutions de $(S)$ est la droite affine
       $\left\{\left.\left({\frac {3b+c}{7}}+y,y,{\frac {b-2c}{7}}+y\right)\right|y\in \mathbb {R} \right\}=\left({\frac {3b+c}{7}},0,{\frac {b-2c}{7}}\right)+\mathbb {R} (1,1,1)$.