Fonction exponentielle/Exercices/Équations comportant des exponentielles

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Objectif : On se propose de résoudre un certain nombre d'équations où l'inconnue x est toujours "dans une exponentielle".

Principe général : On change d'inconnue en posant $X=e^{x}$ , on résout en X puis avec $~\ln$, on revient à l'inconnue de départ x.

Équations se ramenant au premier degré

Exemple

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E1)~:~3e^{x}=5e^{x+1}-2$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$

$(E1)\Leftrightarrow 3e^{x}=5e^{x}\times e-2$

On pose $X=~e^{x}$. On obtient $(E1)\Leftrightarrow 3X=5e\times X-2$

NB : il n'y a plus d'exposant x , le nombre e (constant) ne gêne nullement la résolution. Il s'agit maintenant d'une équation du premier degré d'inconnue X.

${\begin{aligned}(E1)&\Leftrightarrow 2=(5e-3)X\\&\Leftrightarrow X={\frac {2}{5e-3}}\end{aligned}}$

On revient à x grâce à la fonction logarithme :

$x=\ln X=\ln \left({\frac {2}{5e-3}}\right)\approx \ -1,67$

 

Exercice

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E2)~:~e^{x+2}=3e^{x}+5$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$

$(E2)\Leftrightarrow e^{x}\times e^{2}=3e^{x}+5$

On pose $X=~e^{x}$. On obtient

${\begin{aligned}(E2)&\Leftrightarrow e^{2}\times X=3X+5\\&\Leftrightarrow (e^{2}-3).X=5\\&\Leftrightarrow X={\frac {5}{e^{2}-3}}\\\end{aligned}}$

Comme ${\frac {5}{e^{2}-3}}>0$, on peut utiliser la fonction ln pour trouver la solution de (E2) :

$x=\ln X=\ln \left({\frac {5}{e^{2}-3}}\right)$

 

Équations se ramenant au second degré

Exemple

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E3)~:~-2e^{2x}+5e^{x}+3=0$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$:

$(E3)\Leftrightarrow -2(e^{x})^{2}+5e^{x}+3=0$.

On pose $X=~e^{x}$. On a alors $(E3)\Leftrightarrow -2X^{2}+5X+3=0$

C'est une équation du second degré en X de discriminant $\Delta =49~>0$. Elle admet donc deux racines réelles $X_{1}=~3$ et $X_{2}=-{\frac {1}{2}}$

On revient à l'inconnue x grâce à la fonction logarithme : $x_{1}=\ln X_{1}=\ln ~3\approx 1,1$ et $x_{2}=~\ln(-0,5)$, qui n’est pas défini

L'ensemble de solutions de (E3) est donc $S_{3}=~\{\ln 3\}$.

NB : on peut aussi dire pour x₂ "il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive"

 

Exercices

• Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E4)~:~-2e^{2x+1}+7e^{x}=3$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$

$(E4)\Leftrightarrow -2e~(e^{x})^{2}+7e^{x}-3=0$

On pose $X=~e^{x}$ : $(E4)\Leftrightarrow -2eX^{2}+7X-3=0$

Le discriminant de cette équation du second degré en X est $\Delta =7^{2}-4\times (-2e)\times (-3)=49-24e~<0$.

Cette équation du second degré en X n'admet donc pas de racine réelle.

L'ensemble des solutions de (E4) est $S_{4}=\emptyset$

 

• Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E5)~:~(e^{x}+3)(e^{x}-5)=0$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs (au moins) est nul, donc

${\begin{aligned}(E5)&\Leftrightarrow ((e^{x}+3=0)~{\textrm {ou}}~(e^{x}-5=0))\\&\Leftrightarrow ((e^{x}=-3)~{\textrm {ou}}~(e^{x}=5))\end{aligned}}$

Comme l'équation $e^{x}=~-3$ d'inconnue x n'admet pas de solution, l’ensemble des solutions de (E5) est réduit à

$S_{5}=~\{\ln(5)\}$

 

• Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E6){\frac {1}{2e^{-x}+2}}={\frac {e^{x}}{2e^{x}+2}}$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

$2e^{x}+2\not =0$ et $2e^{-x}+2\not =0$ donc les quotients n'engendrent pas de restrictions particulières.

${\begin{aligned}(E6)&\Leftrightarrow {\frac {1}{e^{-x}+1}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}\\&\Leftrightarrow e^{x}+1=e^{x}(e^{-x}+1)\\&\Leftrightarrow e^{x}+1=1+e^{x}\\\end{aligned}}$

On remarque alors que cette assertion est vérifiée pour tout $x\in \mathbb {R}$ !

L'ensemble des solutions de (E6) est donc $S_{6}=\mathbb {R}$

 

• Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E7)~:~e^{2x}+e^{x}+1=0$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$. On pose $X=~e^{x}$.

$(E7)\Leftrightarrow X^{2}+X+1=0$

Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta =-3$, donc n'admet aucune racine réelle.

Donc l’ensemble des solutions de (E7) est $S_{7}=\emptyset$

 

NB : il faut garder à l'esprit que X devra être positif pour pouvoir trouver des solutions car c’est une exponentielle.

Système avec exponentielles se ramenant à des systèmes linéaires

Exercice

• Résoudre

$(S)~:~{\begin{cases}e^{x}+3e^{y}=5\\2e^{x}-e^{y}=3\end{cases}}$

Solution

Soit $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

On pose $X=~e^{x}$ et $Y=~e^{y}$.

$(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}X+3Y=5\\2X-Y=3\end{cases}}$

On résout le système avec une méthode au choix et on trouve pour solution unique $(X,Y)=~(2,1)$

On revient à (x,y) grâce à la fonction ln : $(x,y)=~(\ln X,\ln Y)$.

L'ensemble de solutions de (S) est $\{(\ln 2,~0)\}$