Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions
Le résultat important de ce chapitre est le suivant :
Toute fonction continue sur un compact peut être approchée uniformément par des fonctions polynomiales.
La démonstration, longue, repose sur l’utilisation des polynômes de Bernstein.
Du point de vue de la topologie de l'espace fonctionnel , ce Théorème signifie que :
Démonstration
Polynômes de Bernstein
Comme la formulation des polynômes de Bernstein nous l'invite, on fera la démonstration sur [0;1]. Un simple changement de coordonnées peut ramener au cas général de l'intervalle [a,b].
Nous allons, avant de démontrer le théorème en lui-même, voir quelques propriétés utiles de ces polynômes :
- La première égalité est une simple application de la formule du binôme de Newton.
- Tout d’abord, il faut noter que :
- Ainsi, en prenant les coefficients binomiaux nuls si k-p<0 :
- en appliquant la première égalité.
- En remarquant que :
- il suffit alors d’utiliser la deuxième égalité deux fois :
- Le calcul se fait par :
Démonstration
On pose, pour n entier et toute fonction f continue sur [0;1], la fonction polynomiale :
L'objectif est de montrer que la suite de fonctions polynomiales converge uniformément vers f sur [0;1].
Fixons et .
On a :
La fonction f étant continue sur [0;1], elle y est uniformément continue : il existe donc tel que
On sépare les indices en deux ensembles : on pose et
Les deux ensembles sont disjoints, donc on a :
On peut déjà dire que par l'inégalité triangulaire, puis en ramenant la somme sur l'intervalle entier.
Il s'agit maintenant de majorer la deuxième partie de la somme. Pour cela, on remarque que :
Ainsi,
d'après la quatrième égalité calculée avant. La fonction est majorée par 1/4 sur [0;1], d'où :
On a donc prouvé que :
Pour tout x dans [0;1], il existe donc un entier N tel que :
CQFD
Remarquons que cette démonstration offre un intérêt supplémentaire, puisqu'elle offre un exemple de suite de polynômes convergeant vers la fonction désirée.