Théorème central limite

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Statistique et probabilités

 

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Présentation

Le théorème central limite est sans doute le résultat le plus important de la théorie des probabilités, et un des plus importants de toutes les mathématiques. Il explique pourquoi quand on étudie un même caractère statistique chez des individus différents, on obtient une courbe en cloche, dite « de Gauss ». On l'appelle aussi parfois « théorème de la limite centrale » ou bien « théorème de la limite centrée ».

Ce résultat complexe qui possède plusieurs formulations techniques d'accès difficile.

On en donne dans ce chapitre une formulation simplifiée destinée à permettre des applications.

Variables aléatoires indépendantes

La notion d'indépendance de variables aléatoires est difficile.

Nous nous en tiendrons à la définition heuristique suivante.

Définition

Deux variables aléatoires sont dites indépendantes quand le résultat de l'une n'influence pas celui de l'autre.

Exemples

• Lors de deux lancers de dés successifs, le résultat du premier n'a aucune influence sur celui du second. Les deux variables aléatoires correspondantes, qui suivent la même loi, sont indépendantes.
• Lors d'une étude statistique de la taille d'individus non apparentés d'une population, la taille de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.

Énoncé simplifié

Début d’un théorème

Théorème

Si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ sont des variables réelles indépendantes de même loi de probabilité,

d'espérance m et de variance $\sigma ^{2}$ alors, lorsque n est suffisamment grand :

• la variable aléatoire :

  $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$

  suit approximativement une loi normale d'espérance $m\times n$ et d'écart-type $\sigma {\sqrt {n}}$, notée :

  ${\mathcal {N}}(mn,\sigma {\sqrt {n}})$ ;

• la variable aléatoire :

  $Y_{n}={\frac {S_{n}}{n}}$

  converge en loi vers une variable aléatoire $Y$ de loi normale :

  ${\mathcal {N}}\left(m,{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)$.

Fin du théorème