Similitude/Exercices/Échauffement

Exercice 1-1

$ABC$ est un triangle direct, rectangle en $A$ et isocèle. $I$ est le milieu de $[BC]$. Précisez l'angle et le rapport de la similitude directe de centre $C$ :

1. $s_{1}$ qui transforme $A$ en $B$.
2. $s_{2}$ qui transforme $I$ en $A$.

Solution

En notant $a,b,c,i$ les affixes de $A,B,C,I$, les hypothèses se traduisent par $c-a=\mathrm {i} (b-a)$ et $i={\frac {b+c}{2}}$.

1. ${\frac {b-c}{a-c}}={\frac {b-a}{a-c}}+1=1-{\frac {1}{\mathrm {i} }}=1+\mathrm {i}$ donc $s_{1}$ a pour rapport ${\sqrt {2}}$ et pour angle ${\frac {\pi }{4}}$.
2. ${\frac {a-c}{i-c}}=2{\frac {a-c}{b-c}}={\frac {2}{1+\mathrm {i} }}=1-\mathrm {i}$ donc $s_{2}$ a pour rapport ${\sqrt {2}}$ et pour angle $-{\frac {\pi }{4}}$.

 

Exercice 1-2

$ABC$ est un triangle équilatéral direct. $I$ est le milieu de $[BC]$. Précisez la similitude directe :

1. $s_{1}$ de centre $B$ qui transforme $A$ en $I$ ;
2. $s_{2}$ de centre $I$ qui transforme $C$ en $A$ ;
3. $s_{3}$ de centre $C$ qui transforme $A$ en $G$, centre de gravité du triangle $ABC$.

Solution

En notant $a,b,c,i,g$ les affixes de $A,B,C,I,G$, les hypothèses se traduisent par $c-a={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(b-a)$, $i={\frac {b+c}{2}}$ et $g={\frac {a+b+c}{3}}$.

1. ${\frac {i-b}{a-b}}={\frac {c-b}{2(a-b)}}={\frac {c-a}{2(a-b)}}+{\frac {1}{2}}=-{\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}$ donc $s_{1}$ a pour rapport ${\frac {1}{2}}$ et pour angle $-{\frac {\pi }{3}}$.
2. ${\frac {a-i}{c-i}}={\frac {2a-b-c}{c-b}}={\frac {2(a-b)}{c-b}}-1={\frac {4}{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-1=\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ donc $s_{2}$ a pour rapport ${\sqrt {3}}$ et pour angle ${\frac {\pi }{2}}$.
3. ${\frac {g-c}{a-c}}={\frac {a+b-2c}{3(a-c)}}={\frac {2}{3}}+{\frac {b-a}{3(a-c)}}={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2{\sqrt {3}}}}$ donc $s_{3}$ a pour rapport ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ et pour angle ${\frac {\pi }{6}}$.

 

Exercice 1-3

$ABC$ est un triangle tel que :

${\begin{cases}AB=a\\({\vec {AB}},{\vec {AC}})={\frac {2\pi }{3}}\\({\vec {BC}},{\vec {BA}})={\frac {\pi }{6}}.\end{cases}}$

$K$ désigne l'intersection de la droite $(BC)$ et de la médiatrice du segment $[AB]$.

1. Montrez que le triangle $ABC$ est isocèle.
2. Calculez $CB$.
3. Déterminez le rapport et l'angle de la similitude $s_{1}$ de centre $A$ qui transforme $K$ en $B$.
4. Déterminez le rapport et l'angle de la similitude $s_{2}$ de centre $K$ qui transforme $A$ en $C$.

Solution

1. $({\vec {CA}},{\vec {CB}})=\pi -({\vec {BC}},{\vec {BA}})-({\vec {AB}},{\vec {AC}})={\frac {\pi }{6}}=({\vec {BC}},{\vec {BA}})$.
2. $CB=2AB\cos {\frac {\pi }{6}}=a{\sqrt {3}}$.
3. $s_{1}$ a pour rapport ${\frac {BA}{KA}}={\frac {CB}{AB}}={\sqrt {3}}$ et pour angle $({\vec {AK}},{\vec {AB}})=({\vec {BA}},{\vec {BK}})=-{\frac {\pi }{6}}$.
4. $s_{2}$ a pour rapport ${\frac {KC}{KA}}={\frac {BC-BK}{KA}}={\frac {BC}{BK}}-1={\frac {a{\sqrt {3}}}{a/{\sqrt {3}}}}-1=2$ et pour angle $({\vec {KA}},{\vec {KC}})=\pi -({\vec {KB}},{\vec {KA}})=2({\vec {BA}},{\vec {BK}})=-{\frac {\pi }{3}}$.