En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Fractions rationnelles
Expressions algébriques/Exercices/Fractions rationnelles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 6-1
Simplifier les expressions :
a)
b)
c)
d)
e)
a) Corrigé
Commençons par mettre au même dénominateur :
.
Nous remarquons que le polynôme au numérateur s'annule dès que deux des trois variables sont égales. Il est donc de la forme
, où le polynôme
, pour des raisons de degré, est une constante. Autrement dit, la fraction à simplifier est en fait une constante.
On l'évalue en choisissant des valeurs particulières pour
: par exemple
, ce qui donne :
.
b) Corrigé
En procédant de façon similaire au a), on trouve :
c) Corrigé
En procédant de façon similaire au a), on trouve :
d) Corrigé
En procédant de façon similaire au a), on trouve :
e) Corrigé
En procédant de façon similaire au a), on trouve :
Exercice 6-2
Simplifier les expressions :
a)
b)
c)
d)
e)
a) Corrigé
Nous avons :
b) Corrigé
Le numérateur et le dénominateur s'annulent pour
. On peut donc mettre
en facteur. Nous obtenons :
On remarque que le numérateur et le dénominateur s'annulent pour
. On peut donc de nouveau mettre
en facteur. Nous obtenons :
On remarque que le dénominateur s'annule pour
. On obtient donc finalement :
c) Corrigé
Nous avons :
Compte-tenu du dénominateur, essayons de voir si l'on ne peut pas factoriser le numérateur par
ou
.
Pour cela remplaçons, dans le numérateur successivement
par
et par
.
Pour
, on obtient :
On peut donc mettre
en facteur dans le numérateur. On obtient :
et on a la simplification suivante :
d) Corrigé
Nous avons :
e) Corrigé
On peut simplifier par
:
et l'on voit qu'en remplaçant
par
, le numérateur et le dénominateur s'annulent. On peut donc factoriser le numérateur et le dénominateur par
.
Exercice 6-3
Simplifier l'expression :
![{\displaystyle {\frac {2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{ab+ac+bc+c^{2}-a^{2}-b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d42506e9644f5c11f16c7477672d2edaa20b7f)
Solution
Le dénominateur, vu par exemple comme polynôme en
(à coefficients dans les polynômes en
et
) est unitaire, de degré
. On peut donc effectuer une division euclidienne du numérateur par le dénominateur, vus comme polynômes en
; le terme dominant du quotient sera
et le reste sera de degré strictement inférieur à
:
,
où
sont des polynômes en
et
, que l'on calcule par identification des coefficients de
,
et
:
![{\displaystyle {\begin{cases}0&=P-a-b,\\2a^{2}+2b^{2}+ab&=(a+b)P-ab+a^{2}+b^{2}+Q,\\-a^{3}-b^{3}&=(ab-a^{2}-b^{2})P+R\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b197abaaf57f967089f808f74169ea6af7eb88f)
donc de proche en proche :
.
Puisque le reste
est nul, le numérateur est simplement le produit du dénominateur par le quotient
, et la simplification recherchée est donc :
.
Exercice 6-4
Montrer que si l'on a :
,
on a aussi :
.
Solution
Il s'agit de démontrer que
,
ce qui se réécrit
![{\displaystyle (pv+qu)(u+v)+(p+q)uv=0\Rightarrow qu^{2}+pv^{2}+2(p+q)uv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeb65f4e26824f48baba3c7ecd55cf53fe23cee)
et qui, en développant, est immédiat.
Exercice 6-5
Étant donnée la relation liant
à
:
,
étant des constantes et
,
on remplace
successivement par quatre valeurs distinctes
;
prend les quatre valeurs correspondantes
.
Démontrer que l'on a :
.
Solution
Si
, le résultat est immédiat.
Si
, on a
![{\displaystyle y={\frac {\alpha }{x-\beta }}+\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8c78c7e96c6ef2dce2b088c794895f50340721)
où
.
Il suffit donc de vérifier que la quantité
est inchangée quand on remplace (pour
)
par
, puis
par
, puis
par
, et enfin
par
.
Vérifions-le pour la transformation 2 (pour les trois autres, c'est immédiat) :
![{\displaystyle {\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}={\frac {\frac {u_{1}-u_{3}}{u_{3}u_{1}}}{\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{3}u_{2}}}}={\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e49e51119ecbc8b9e3c5e307e5d70a501648fe7)
et de même,
![{\displaystyle {\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}={\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0b8d3a26421d98f80f829ef8bb9a7a46e1db2e)
donc
.