Proportionnalité/Relation de proportionnalité

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Relation de proportionnalité

Définition

Quand une grandeur y est proportionnelle à une grandeur x avec le coefficient a, on a la relation de proportionnalité :

$y=a\times x$

Début de l'exemple

Exemple

Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 euros par an, avec lequel la séance coûte 5 euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 euros. Notons n le nombre de séances, A le coût de n séances avec abonnement, et S le coût de n séances sans abonnement. Exprimer A et S en fonction de n.

Fin de l'exemple

Solution

$S=8\times n\ \ \ \ \ A=20+5\times n$

La somme S est proportionnelle au nombre de séances, et

$S=8\times n$

est une relation de proportionnalité.

La somme A n’est pas proportionnelle au nombre de séances, et

$A=20+5\times n$

n'est pas une relation de proportionnalité.

 

Représentation graphique d’un tableau de proportionnalité

Début d’un théorème

Théorème

• Les points correspondants à un tableau de proportionnalité sont toujours alignés sur une droite passant par l’origine.
• Réciproquement, si les points correspondants aux valeurs d’un tableau sont alignés sur une droite passant par l’origine, alors le tableau est de proportionnalité.
• la relation de proportionnalité y = a fois x entre les deux grandeurs proportionnelles est alors appelée « équation de la droite »

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Reprenons l'exemple du complexe cinématographique ci-dessus. En plaçant en abscisses (horizontalement) le nombre de séances, et en ordonnées (verticalement) les coûts, placer les points correspondants aux 10 premières séances pour A et S.

Fin de l'exemple

Solution

On a placé S en noir et A en rouge. On constate que pour S, les points sont alignés sur une droite passant par l'origine, car la situation est de proportionnalité. Ce n’est pas le cas pour A.

 

Pourcentages d’augmentation ou de diminution

Voir aussi la leçon Pourcentage

Début de l'exemple

Exemple

Le prix d’un article à 80 Euros augmente de 15%. Calculons le nouveau prix.

Fin de l'exemple

L’augmentation est de $\scriptstyle {80\times {\frac {15}{100}}=12}$ donc le nouveau prix est : 80 +12 = 92 Euros.

Calculer $\scriptstyle {80+{\frac {15}{100}}\times 80}$

92

Calculer $(1+0,15)\times 80$

92

Calculer $1,15\times 80$

92

donc augmenter un nombre de 15% revient à le multiplier par 1,15.

Début d’un théorème

Théorème

• Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par $1+{\frac {t}{100}}$
• Diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par $1-{\frac {t}{100}}$

Fin du théorème

Exemples :

Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par :

1,20 ou 1,2

Augmenter un nombre de 65% revient à le multiplier par :

1,65

Augmenter un nombre de 5% revient à le multiplier par :

1,05 et non 1,5 !

Diminuer un nombre de 20% revient à le multiplier par :

0,8 ou 0,80

Diminuer un nombre de 35% revient à le multiplier par :

0,65

Diminuer un nombre de 2% revient à le multiplier par :

0,98

Distance, vitesse, temps

Définition

Un mobile est animé d’un mouvement uniforme lorsqu’il se déplace toujours à la même vitesse (vitesse constante).

Début de l'exemple

Exemple

Quels sont les mobiles qui ont le mouvement le plus uniforme ?

• Une voiture
• Un train
• Un guépard
• Un coureur de marathon
• Un coureur de 100 m

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème

• Lors d’un mouvement uniforme à la vitesse V, la distance D parcourue est proportionnelle au temps T de parcours. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse V :

$D=V\times T$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

• Une automobile se déplace à la vitesse constante de 90 km/h pendant 3 h. Quelle distance parcourt-elle ?
• Un TGV parcourt une distance de 500 km en 2 h. À quelle vitesse a-t-il roulé ?
• Un airbus traverse l’Atlantique à 900 km/h, ce qui représente 6 000 km. Combien de temps cela lui prend-il ?

Fin de l'exemple