Proportionnalité/Quatrième proportionnelle

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Le coefficient de proportionnalité

Propriété

Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient est le quotient commun des nombres de la seconde ligne par ceux de la première.

On a donc la formule :

${\mbox{coefficient}}={\frac {\mbox{Bas}}{\mbox{Haut}}}$

Exemples: En calculant le coefficient dans chaque colonne, déterminer si ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité.

-1	2,5	8
-2,5	6,25	20

Solution

• -2,5 ÷ (-1) = 2,5
• 6,25 ÷ 2,5 = 2,5
• 20 ÷ 8 = 2,5

Donc c’est un tableau de proportionnalité de coefficient 2,5

 

-2	3	4	1,5
6	-9	12	4,5

Solution

• 6 ÷ (-2) = -3
• -9 ÷ 3 = -3
• 12 ÷ 4 = 3
• 4,5 ÷ 1,5 = 3

donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité

 

La quatrième proportionnelle

Définition

Une quatrième proportionnelle est une inconnue x dans un tableau de proportionnalité.

Exemple : Supposons le tableau de proportionnalité ci-dessous. Le nombre x est inconnu, c’est la quatrième proportionnelle.

4	5
x	21

Solution

Pour trouver x, calculons d’abord le coefficient de proportionnalité :alors

$\mathrm {coefficient} ={\frac {\mathrm {Bas} }{\mathrm {Haut} }}={\frac {21}{5}}=4,2$

donc x = 4 × 4,2 = 16,8.

 

Exemples: Calculer dans chaque cas la quatrième proportionnelle.

3	5
9	x

Solution

9/3 = 3 donc le coefficient est de 3. Donc x vaut 5 × 3 soit 15

 

7	6
49	x

Solution

49/7 = 7 donc le coefficient est de 7. Donc 6 × 7 = x. Donc x =42

 

Technique de résolution

Pour simplifier la résolution, il est possible de multiplier les deux nombres connus situés en diagonale dans le tableau, et de diviser le résultat par le troisième nombre.

Exemple

$x$	12
5	10

Ainsi : $x={\frac {12\times 5}{10}}={\frac {60}{10}}=6$.

Pourcentages et proportionnalité

Exemple : Prendre 20 % de 30 est un problème de quatrième proportionnelle :

30	100
x	20

Le coefficient est : 20/100 donc x = 30 × 20/100 = 6. Donc 20 % de 30 est égal à 6.

Pour s'habituer à construire de tels tableaux, on peut penser à un cas concret : Une classe de 30 élèves, dont 20 % aiment le chou-fleur. Il faudrait donc prévoir 20 portions de chou-fleur s'il y avait 100 personnes. On remplit une colonne du tableau. Mais dans la classe, il y a 30 personnes, pas 100. On met 30 sur la même ligne que 100, car on compte la même chose (des personnes). Sur la ligne d'en-dessous, on compte les parts de chou-fleur; la case restante va indiquer la quantité de chou-fleur à prévoir pour 30 personnes.

Exercice : Calculer les pourcentages suivants :

• 5 % de 140

Que représente une économie de 5% sur un achat de 140 euros ? Pour 100 euros, on ferait une économie de 5 euros; pour 140 euros…

• 1 % de 300

Dans une assemblée de 300 personnes, un groupe a une représentativité de 1%; De combien de personnes est composé ce groupe ?

• 0 % de 456 789

Dans cette ville de 456 789 habitants, 0 % de la population a plus de 120 ans. Combien de personnes recevront une médaille pour leur longévité exceptionnelle ?

• 13% de 100, de 200
• 100 % de 1, de 234 567
• 50 % de 100, de 2000
• 98 % de 50
• 2,5 % de 100, de 567

200 %, qu'est-ce que ça veut dire ?

On utilise beaucoup les pourcentages pour partitionner une quantité :

• 60 % de glucides, 28 % de protides, 10 % de lipides, 2 % de vitamines et de minéraux, font 100 % d’un bol de céréales, quelle que soit sa taille.
• 52 % de « pour », 46 % de « contre », 2 % qui ne se prononcent pas, font 100 % des suffrages.

Mais les pourcentages sont aussi bien pratiques pour décrire une évolution :

• Un club compte 40 inscrits, contre 20 l'année dernière : le nombre d'adhérents du club a doublé, il a augmenté de 100 %, il est maintenant égal à 200 % de l'effectif de départ.
• Un autre club compte 460 inscrits, contre 400 l'année dernière : le nombre d'adhérents a augmenté de 15 %, il est maintenant égal à 115 % de l'effectif précédent.