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Étude des variations
On pose : .
Fonction dérivée
Calcul de la dérivée
On a . On peut donc poser :
et .
On a donc .
Or et , d'où :
.
Fonction dérivée
Soit une fonction homographique, alors sa fonction dérivée vérifie :
Signe de la dérivée
On se propose d'étudier le signe de la dérivée de .
Étude du signe de
On sait que . Or est une grandeur positive, donc : .
Or ne dépend pas de , donc est de signe constant sur et :
Signe de la dérivée
Soit f une fonction homographique définie sur , alors est de signe constant sur et :
Variations d'une fonction homographique
On peut donc déduire du signe de les variations de .
Début d’un théorème
Variations de
Soit une fonction homographique définie sur , alors :
Fin du théorème
Limites d'une fonction homographique
Calcul des limites
Calcul des limites
Soit une fonction homographique définie sur , on se propose de chercher les limites de aux bornes de son ensemble de définition :
en :
en : . Le calcul du signe de cet infini est à traiter au cas par cas.
On doit donc calculer la limite en de f au cas par cas :
Signe de la limite en
Il faut donc chercher le signe de aux alentours de : Or, Or,
Donc,. En posant , on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l’ordre des racines et du signe de . 1°cas : Si et sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas :
Si , alors, sur et est négatif et , et
Si , alors, sur et est négatif et , et
2° cas :
Si et sont de signes différents, alors est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :
Si , alors, sur et est positif et , et
Si , alors, sur et est positif et , et
Limites d'une fonction homographique
Limites d'une fonction homographique
Soit , une fonction homographique définie sur , alors :
Si et sont de même signe : , et , si
, et , si
Si et sont de signes différents : , et , si
, et , si
Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.