Série de Fourier/Théorèmes fondamentaux

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Les séries de Fourier sont l'objet de deux théorèmes fondamentaux : le théorème de Parseval et celui de Jordan-Dirichlet.

Théorème de Parseval

Début d'un lemme

Lemme — Inégalité de Bessel

Soit $f\in CM_{2\pi }$. Alors :

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(x)^{2}\,\mathrm {d} x}$.

Fin du lemme

Début d’un théorème

Théorème — égalité de Parseval

Si $f$ est de plus de carré intégrable, alors l'inégalité devient une égalité :

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(x)^{2}\,\mathrm {d} x}$.

Fin du théorème

Remarque

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({a_{k}}^{2}+{b_{k}}^{2}\right)$.

Théorème de Jordan-Dirichlet

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f\in C^{1}M_{2\pi }$. Alors sa série de Fourier converge ponctuellement vers sa normalisée :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \lim _{n\to \infty }{S_{n}(f)}(x)={\frac {f_{+}(x)+f_{-}(x)}{2}}$.

Fin du théorème

Applications

Ces deux théorèmes sont fréquemment utilisés pour calculer des sommes infinies qu'on ne pourrait pas calculer avec la théorie des séries entières ou des séries numériques.

Voir à ce propos la leçon : « Sommation ».