Fonction dérivée/Fiche/Définitions et opérations

Fiche mémoire sur les définitions et opérations sur les dérivées

Niveau 12

Nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}$.

Soit $a\in {\mathcal {D}}$.

La fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si le taux d'accroissement ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.

Cette limite :

• s’appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ ;
• est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ;
• est notée $f'(a)$.

Opérations sur les dérivées

Soient $\lambda \in \mathbb {R}$ et $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Opérations simples

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur un domaine ${\mathcal {D}}$.

On note :

• ${\mathcal {D}}'_{f}={\mathcal {D}}$ privé des points d'annulation de $f$ ;
• ${\mathcal {D}}'_{g}={\mathcal {D}}$ privé des points d'annulation de $g$.

${\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&{\text{Domaine de dérivabilité}}&{\text{Dérivée}}\\\hline x\mapsto \lambda f(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto \lambda f'(x)\\x\mapsto (f+g)(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto f'(x)+g'(x)\\x\mapsto (f\times g)(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\x\mapsto f^{n}(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto n\cdot f'(x)f^{n-1}(x)\\x\mapsto \displaystyle {\frac {1}{f}}&{\mathcal {D}}'_{f}&x\mapsto \displaystyle {-{\frac {f'(x)}{f^{2}(x)}}}\\x\mapsto \displaystyle {\frac {f}{g}}&{\mathcal {D}}'_{g}&x\mapsto \displaystyle {\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}\\\end{array}}$

Composition par une fonction affine

Soient $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R}$.

Soit $f$ une fonction.

Soit $g$ une fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}_{1}$ par $g:x\mapsto f(ax+b)$.

Soit $x\in {\mathcal {D}}_{1}$. Si $f$ est dérivable au point $ax+b$, alors $g$ est dérivable au point $x$ et $g'(x)=a\cdot f'(ax+b)$.

Niveau 13

Composition

Si $f$ est une fonction dérivable sur $I$ et $g$ est une fonction dérivable sur $f(I)$

alors la composée $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :

${\begin{aligned}(g\circ f)'(x)&=\left[(g'\circ f)\times f'\right](x)\\&=g'(f(x))\times f'(x).\end{aligned}}$

Compositions usuelles

On trouvera les domaines de validité de ces formules grâce au théorème précédent.

${\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&{\text{Dérivée}}\\\hline {\sqrt {u}}&\displaystyle {\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}\\\sin(u)&u'\cdot \cos(u)\\\cos(u)&-u'\cdot \sin(u)\\e^{u}&u'\cdot e^{u}\\\ln(u)&\displaystyle {\frac {u'}{u}}\\\end{array}}$