Généralités sur les fonctions/Ensemble de définition
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction f, noté souvent , est l’ensemble des nombres réels x pour lesquels l'image est bien définie.
Remarques :
- L'ensemble de définition est partie intégrante de la fonction f :
- si l’on change d'ensemble de définition, on change de fonction.
Exemple
Soit la fonction f définie sur par .
Sa restriction à l'intervalle est :
la fonction g définie sur par .
Les fonctions f et g ne sont pas les mêmes, malgré le fait qu’elles soient définies par la même expression algébrique.
En effet, g possède des propriétés que f ne possède pas et réciproquement.
Ainsi, g admet un minimum de 2 atteint pour , alors que pour f, cette valeur n’est pas un minimum.
De même, g est monotone (elle ne change pas de sens de variation) alors que f ne l'est pas.
Valeurs interdites
Soit une expression algébrique.
- Une valeur interdite de est une valeur de x pour laquelle l’expression algébrique n'a pas de sens, ou bien ne peut pas être calculée.
- Soit une fonction définie uniquement par l’expression algébrique .
Le plus grand ensemble de définition possible pour est privé des valeurs interdites de , ce que l’on note :
Exemple
Une fonction f définie uniquement par a pour plus grand ensemble de définition , que l’on note usuellement .
Restriction et extension d'un ensemble de définition
L'ensemble de définition est en général donné par l'énoncé.
Il est possible que :
- Il soit plus restreint que le plus grand ensemble de définition possible pour l’expression algébrique de f.
Exemple :
Soit la fonction définie sur par .
On pourrait agrandir l’ensemble de définition de f avec la même expression algébrique,
mais alors ce ne serait plus "la même" fonction.
- Il soit étendu aux valeurs interdites par la donnée de valeurs exceptionnelles pour , ou par une autre expression.
Exemple :
Soit la fonction définie sur par :
si
si
La fonction f est définie par morceaux en utilisant deux expressions différentes,
de manière à ce que les valeurs interdites de chaque expression soit évitées.