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Étude de fonctions : Continuité
Étude de fonctions/Continuité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Si une fonction
est continue en
alors
est définie en
et admet une limite finie en
qui est
.
Soit
une fonction définie sur un intervalle
et
un nombre de
. On dit que
est continue en
si et seulement si :
ou
.
Sinon,
est discontinue en
.
est continue sur l'intervalle
si et seulement si,
est continue en tout nombre de
.
Interprétation graphique
est continue sur l'intervalle
signifie que l’on peut tracer la courbe de la fonction
sur
sans avoir à lever le crayon de la feuille.
Fonctions classiques
Toutes les fonctions
sont définies et continues sur
. Par conséquent, toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur
. Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. La fonction sinus et la fonction cosinus sont continues sur
. La fonction racine carrée est continue sur
.
Opérations sur les fonctions continues
Opérations classiques
Théorème
Soit
et
deux fonctions définies sur un intervalle
, soit
un élément de
où
et
sont continues. Alors leur somme
, leur produit
et leur quotient
(si
≠
) et toutes fonctions du type
, (
) sont des fonctions continues en
. Ceci est démontrable par les propriétés sur les limites.
Corollaire
Soit
et
deux fonctions définies et continues sur un intervalle
. Alors leur somme
, leur produit
et leur quotient
(si
≠
) et toutes fonctions du type
, (
) sont des fonctions continues sur l'intervalle
.
Continuité et composition
Théorème
Soit
une fonction définie dans un intervalle
contenant le nombre
et
une fonction définie sur un intervalle
contenant
. Si
est continue en
et si
est continue en
alors,
est continue en
.
Corollaire
Si
est définie et continue sur un intervalle
et si
est définie et continue sur un intervalle
contenant
. Alors,
est définie et continue sur
.
Conclusion (théorème)
Si
et si
est continue en
alors,
.
Résolution de l'équation ![{\displaystyle f(x)=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044da66a95949ed674a71562a3cb064888ac7548)
Théorème des valeurs intermédiaires
Si
est une fonction définie et continue sur un intervalle
et si
et
sont deux nombres de
alors, pour tout nombre
compris entre
et
il existe au moins un réel
compris entre
et
tel que
.
Corollaire
Si
est une fonction définie, continue et monotone sur l'intervalle
,
. Alors, pour tout nombre
compris entre
et
il n'existe qu'un seul nombre
compris entre
et
tel que
.
L'équation
a une et une seule solution dans
.
Cas général
Si
est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle
et si
et
sont les limites de
aux bornes de cet intervalle (
et
sont des nombres,
ou
). Alors, pour tout réel
strictement compris entre
et
, il existe une et une seule solution à l'équation
.