Série de Fourier/Exercices/Exemple de développement en série de Fourier

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(t)=\left|\sin t\right|$.

1. Calculer les coefficients de Fourier réels de $f$.

2. Montrer que la série de Fourier de $f$ converge normalement et préciser sa somme.

Solution

1. L'application $f$ est continue par morceaux et $\pi$-périodique : ses coefficients de Fourier existent.

Soit $f$ une fonction $T$-périodique, ses coefficients de Fourier réels sont définis de la manière suivante :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{[T]}f(t)\cos {\tfrac {2\pi nt}{T}}\,\mathrm {d} t$ ;

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad b_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{[T]}f(t)\sin {\tfrac {2\pi nt}{T}}\,\mathrm {d} t$.

Comme $f$ est paire, $b_{n}(f)=0$.

${\begin{aligned}a_{n}(f)&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(t)\cos(2nt)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin t\cos(2nt)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((2n+1)t)-\sin((2n-1)t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\cos((2n+1)t)}{2n+1}}+{\frac {\cos((2n-1)t)}{2n-1}}\right]_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {2}{2n+1}}-{\frac {2}{2n-1}}\right)\\&=-{\frac {4}{\pi (4n^{2}-1)}}.\end{aligned}}$

2. $f$ est de classe $C^{1}$ par morceaux et $\pi$ -périodique. D’après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge normalement vers $f$ sur $\mathbb {R}$.

${\begin{aligned}\forall t\in \mathbb {R} \quad \left|\sin t\right|&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(2nt)+b_{n}\sin(2nt))\\&={\frac {2}{\pi }}-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2nt)}{4n^{2}-1}}\\&={\frac {2}{\pi }}-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2\sin ^{2}(nt)}{4n^{2}-1}}\\&={\frac {8}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(nt)}{4n^{2}-1}}.\end{aligned}}$