Étude des systèmes électriques/Oscillations libres dans un circuit RLC

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Étude expérimentale

Circuit d'étude

Observations

• Interrupteur en position 1 : charge du condensateur
• Interrupteur en position 2 : décharge

On observe des oscillations électriques amorties pseudo-périodiques. On note $T_{0}$ la pseudo-période des oscillations.

Influence de R

Si, en partant d’un régime pseudo-périodique, on augmente progressivement R, les oscillations s'amortissent de plus en plus vite. On observe également une augmentation de la pseudo-période. Lorsque la résistance atteint une valeur critique, il n'y a plus d'oscillations. Au dela de cette valeur critique, aucun comportement oscillant n'est observé

Influence de L et C

• Si on garde la même valeur de la capacité et qu'on augmente l'inductance de la bobine, $T_{0}$ augmente.
• Si on garde la même valeur d'inductance et qu'on augmente la capacité du condensateur, $T_{0}$ augmente également.

Étude analytique d’un circuit oscillant

On note :

• $C$ la capacité du condensateur
• $R$ la résistance du conducteur ohmique
• $L$ l'inductance de la bobine
• $r$ sa résistance interne

Équation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions,
$u_{AM}+u_{MB}+u_{BA}=0$

$u_{C}+Ri+ri+L{\frac {di}{dt}}=0$

or $i={\frac {dq}{dt}}={\frac {d(Cu_{C})}{dt}}=C{\frac {du_{C}}{dt}}$

Donc $LC{\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}+(R+r)C{\frac {du_{C}}{dt}}+u_{c}=0$

Où ${\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}$ est la dérivée seconde de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps. On la note aussi ${\ddot {u_{C}}}$, par extension de la notation ${\dot {u_{C}}}={\frac {du_{C}}{dt}}$.
Dans la suite, on étudie un cas particulier de circuit, sans résistance. Le terme dissipatif est donc négligé afin de simplifier la résolution de cette équation différentielle.

Cas du circuit LC

Un circuit LC est un circuit RLC sans résistance. Ce circuit est dit idéal, puisqu’il ne peut être réalisé.
L'équation différentielle se réduit donc à :
$LC{\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}+u_{C}=0\Leftrightarrow {\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{LC}}u_{C}$

Solutions

La fonction mathématique dont la dérivée seconde est l'opposée d'elle-même à une constante près est la fonction cosinus.
Les solutions sont donc de la forme $u_{C}=A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$, avec :

• $A$ : amplitude (tension maximale, en Volts), notée parfois $u_{m}$
• $\omega _{0}$ : pulsation (rad.s⁻¹)
• $\phi _{0}$ : phase à l'origine
• $t$ : le temps (en secondes)

On appelle $\omega _{0}t+\phi _{0}$ la phase.
On a $\omega _{0}>0$ et $A>0$.

$A$ et $\phi _{0}$ ne dépendent que des conditions initiales, $\omega _{0}$ dépend des grandeurs électriques du circuit.

Détermination de la pulsation

On a ${\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}=-{\frac {u_{C}}{LC}}$.
Or ${\frac {du_{C}}{dt}}=-A\omega _{0}\sin {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$
Donc ${\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}=-\omega _{0}^{2}A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0})}=-\omega _{0}^{2}u_{C}$

D'où $\omega _{0}^{2}={\frac {1}{LC}}\Leftrightarrow \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

On a donc :

$u_{C}=A\cos {\left({\frac {t}{\sqrt {LC}}}+\phi _{0}\right)}$

Détermination des autres constantes (A et phi)

• $A$ va dépendre de la façon dont on a chargé le condensateur
• $\phi _{0}$ va dépendre du choix de l'instant initial

On prend comme instant initial l'instant $t=0$ où $u_{C}=E$ et $i=0$.

Donc $u_{C}=E=A\cos {\phi _{0}}$, or $i={\frac {dq}{dt}}=C{\frac {du_{C}}{dt}}$
D'où $i=-CA\omega _{0}\sin {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$
$i(0)=-CA\omega _{0}\sin {\phi _{0}}=0\Rightarrow \sin {\phi _{0}}=0\Rightarrow \phi _{0}=0{\mbox{ ou }}\pi$.
Or comme $A>0$, d’après $E=A\cos {\phi _{0}}$, $\phi _{0}=0$ et $A=E$.

En prenant ces conditions initiales, l’expression de la tension aux bornes du condensateur est donc :

$u_{C}=E\cos {\left({\frac {t}{\sqrt {LC}}}\right)}$

Relation entre la pulsation et la pseudo période

On utilise $u_{C}=A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$. On sait qu'une fonction cosinus reprend la même valeur quand l'angle a augmenté de $2\pi$ et aussi au bout d’une période.
Donc $u_{C}=A\cos {(\omega _{0}(t+T_{0})+\phi _{0})}=A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0}+2\pi )}$
$\Leftrightarrow A\cos {(\omega _{0}t+\omega _{0}T_{0}+\phi _{0})}=A\cos {(\omega _{0}t+2\pi +\phi _{0})}$
$\Rightarrow \omega _{0}T_{0}=2\pi$ d'où $T_{0}={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}$.
$T_{0}$ : période propre des oscillations libres d’un circuit LC

Influence de la résistance du circuit

• Si $R=0$, le régime est périodique de période $T_{0}$
• Si la résistance est faible, le régime est pseudo périodique de période $T\simeq T_{0}$
• Si la résistance est importante, le régime est dit apériodique

Interprétation énergétique

Régime périodique (LC)

$W_{circuit}=W_{B}+W_{C}={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}Cu_{C}^{2}=cste$
L'énergie passe sans perte du condensateur vers la bobine.
Exemples :

• $t=0,u_{C}=U_{max},i=0\,\Rightarrow W_{circuit}={\frac {1}{2}}CU_{max}^{2}$
• $t={\frac {T}{4}},u_{C}=0,i=-I_{max}\Rightarrow W_{circuit}={\frac {1}{2}}LI_{max}^{2}$

Régime pseudo-périodique

$W_{circuit}={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}Cu_{C}^{2}\neq cste$ et $W_{circuit}$ décroît.
L'énergie est perdue par effet Joule dans les résistances (conducteur ohmique et résistance interne de la bobine).

Entretien des oscillations

Un moyen pour entretenir les oscillations est de compenser la perte d'énergie par un apport extérieur (bien ajusté : au même rythme que les oscillations).
Il existe un circuit, appelé Amplificateur opérationnel (ou ampli-op, AO…) qui est capable de donner de l'énergie à un circuit RLC. Monté convenablement, il peut se comporter comme une résistance négative.

• 
  Montage à AOP
• 
  Circuit équivalent
• 
  AOP en boîtier DIP8
• 
  Différents AOP

La partie encadrée en rouge du premier circuit permet de simuler une résistance négative. La tension aux bornes de ce système est alors $u_{D}=R_{D}i=-R_{4}i$. L'équation différentielle du circuit est donc $u_{C}+(R+r+R_{D})i+L{\frac {di}{dt}}=0$

Si on ne veut pas d'amortissement des oscillations, on doit avoir $0=R+r+R_{D}=R+r-R_{4}$, ce qui revient à $R_{4}=R+r$, c'est-à-dire régler $R_{4}$ à la même valeur que la somme des résistances présentes dans le circuit.

Si on règle différemment $R_{4}$ on peut avoir :

• des oscillations toujours amorties si $R_{D}$ n’est pas assez grande (en valeur absolue), c'est-à-dire si $R_{4}$ est trop petite
• des oscillations non sinusoïdales si $R_{D}$ est trop importante (en valeur absolue), c'est-à-dire si $R_{4}$ est trop grande

En pratique, $R_{4}$ doit être légèrement supérieure à la somme des résistances du circuit à cause de la résistance des fils conducteurs.