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Équation et inéquation : Définitions Équation et inéquation/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soit
f
{\displaystyle f}
une
fonction de la
variable réelle
x
{\displaystyle x}
et
I
{\displaystyle I}
une
partie de l'ensemble des nombres réels
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
x
{\displaystyle x}
Une solution de l'équation
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
élément
x
{\displaystyle x}
de
I
{\displaystyle I}
l'égalité est vraie (il vérifie l'équation).
Résoudre l'équation
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
trouver toutes ses solutions .L'ensemble des solutions est généralement noté
S
{\displaystyle S}
Définition
Si
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
est une fonction affine définie par
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
, l'équation devient
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
(
I
=
R
{\displaystyle I=\mathbb {R} }
).
C'est une
équation du premier degré si
a
{\displaystyle a}
est
non nul .
Début d’un théorème
Théorème
L'unique solution de l'équation du premier degré
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
(avec
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
) est :
x
=
−
b
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
On note
S
=
{
−
b
a
}
{\displaystyle S=\left\{-{\frac {b}{a}}\right\}}
.
Fin du théorème
Début de l'exemple
Exemples
Déterminer si les équations suivantes, d'inconnue
x
{\displaystyle x}
, sont du premier degré et si oui, donner
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
et la solution.
2
x
+
3
=
0
{\displaystyle 2x+3=0}
2
x
=
3
{\displaystyle 2x=3}
−
2
x
=
5
{\displaystyle -2x=5}
−
2
x
+
3
=
5
{\displaystyle -2x+3=5}
x
+
4
=
2
x
−
6
{\displaystyle x+4=2x-6}
x
+
1
2
=
8
{\displaystyle x+{\frac {1}{2}}=8}
(
x
−
2
)
x
−
x
2
=
7
{\displaystyle \left(x-2\right)x-x^{2}=7}
2
x
+
3
=
2
x
−
4
{\displaystyle 2x+3=2x-4}
2
x
−
3
=
2
x
−
3
{\displaystyle 2x-3=2x-3}
Solution
Toutes sont du premier degré, sauf les deux dernières, pour lesquelles
a
=
0
{\displaystyle a=0}
a
=
2
,
b
=
3
,
x
=
−
3
2
{\displaystyle a=2,b=3,x=-{\frac {3}{2}}}
a
=
2
,
b
=
−
3
,
x
=
3
2
{\displaystyle a=2,b=-3,x={\frac {3}{2}}}
a
=
−
2
,
b
=
−
5
,
x
=
−
5
2
{\displaystyle a=-2,b=-5,x=-{\frac {5}{2}}}
a
=
−
2
,
b
=
−
2
,
x
=
−
1
{\displaystyle a=-2,b=-2,x=-1}
a
=
−
1
,
b
=
10
,
x
=
10
{\displaystyle a=-1,b=10,x=10}
a
=
1
,
b
=
−
15
2
,
x
=
15
2
{\displaystyle a=1,b=-{\frac {15}{2}},x={\frac {15}{2}}}
a
=
−
2
,
b
=
−
7
,
x
=
−
7
2
{\displaystyle a=-2,b=-7,x=-{\frac {7}{2}}}
S
=
∅
{\displaystyle S=\varnothing }
S
=
R
{\displaystyle S=\mathbb {R} }
Fin de l'exemple
Définition
Une
équation du second degré est une équation de la forme
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
avec
a
{\displaystyle a}
constante réelle
non nulle , et
b
{\displaystyle b}
et
c
{\displaystyle c}
, deux constantes réelles.
Si
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
x
{\displaystyle x}
Début de l'exemple
Exemples
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
les équations :
x
2
=
4
{\displaystyle x^{2}=4}
x
2
−
x
=
0
{\displaystyle x^{2}-x=0}
Solution
S
=
{
−
2
,
2
}
{\displaystyle S=\left\{-2,2\right\}}
S
=
{
0
,
1
}
{\displaystyle S=\left\{0,1\right\}}
Fin de l'exemple
