Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Devoir/Méthode de Tschirnhaus

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Méthode de Tschirnhaus
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Devoir no1
Leçon : Équation du troisième degré

Devoir de niveau 14.

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Équation du troisième degré/Devoir/Méthode de Tschirnhaus
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Les questions a) à d) de la partie Ⅰ de ce devoir exposent fidèlement les calculs (en latin) de

Tschirnhaus, « Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione », Acta Eruditorum, mai 1683, p. 204-207 [texte intégral]
(traduction en anglais : R. F. Green, « A method for removing all intermediate terms from a given equation », ACM SIGSAM Bulletin, vol. 37, no  1, mars 2003 [texte intégral]),

fournissant une autre méthode de résolution des équations du troisième degré que celle de Cardan vue au chapitre 4.

Elle étend celle vue au chapitre 4 qui permet, par translation de la variable, de ramener une équation de degré à une équation de même degré mais de coefficient nul en degré . Ce résultat étant acquis, on se contentera d'appliquer la méthode de Tschirnhaus aux équations du troisième degré de la forme . On écartera le cas trivial .

Cette méthode est largement généralisable. On en verra un exemple dans la partie Ⅱ, qui donne une méthode pour résoudre les équations de degré 4.

Wikipédia possède un article à propos de « Méthode de Tschirnhaus ».
— Ⅰ —

a) Recalculer le résultant (vu au chapitre 2) dans le cas particulier de deux équations de la forme

en le présentant par puissances décroissantes de .

b) On cherche à résoudre l'équation (avec ) en introduisant une variable auxiliaire et une nouvelle équation, de la forme . Quelle équation polynomiale (à présenter par puissances décroissantes de ) doit lier les paramètres , et pour que les deux équations

aient une solution commune  ?

c) Comment et doivent-ils être choisis pour que cette équation soit de la forme  ?

Montrer qu'alors, avec défini (au signe près) par , on a :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • .

d) En déduire un algorithme pour résoudre (avec ).

e) Appliquer cet algorithme pour résoudre .

f) On revient au cas général (avec, toujours, ). Démontrer que (pour choisis comme ci-dessus) les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

.

Que remarque-t-on lorsqu'elles sont satisfaites ?

g) Si (avec choisis comme ci-dessus), montrer (en reprenant les calculs du début du devoir) qu'à chacune des trois racines cubiques de correspond une solution de — s'exprimant comme une fonction homographique de — et que les trois solutions ainsi obtenues sont distinctes. (Ceci affine l'algorithme de la question d).)

— Ⅱ —

a) Calculer le résultant des deux équations

en le présentant par puissances décroissantes de .

b) On cherche à résoudre l'équation (avec ) en introduisant une variable auxiliaire et une nouvelle équation, de la forme . Quelle équation polynomiale (à présenter par puissances décroissantes de ) doit lier , et pour que les deux équations

aient une solution commune  ?

c) Comment et doivent-ils être choisis pour que cette équation soit de la forme  ?

Exprimer alors , , et comme des polynômes du second degré en (on pourra poser ).

d) Déduire de ce qui précède un algorithme pour résoudre (si ).

e) Résoudre par cet algorithme l'équation :

.

f) Montrer (en reprenant les calculs du début de cette partie) qu'en général, à chacune des quatre solutions de correspond une seule solution de , s'exprimant comme une fraction rationnelle de . Vérifier sur l'exemple précédent l'efficacité de cette amélioration de l'algorithme.