En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Méthode de Tschirnhaus
Équation du troisième degré/Devoir/Méthode de Tschirnhaus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les questions a) à d) de la partie Ⅰ de ce devoir exposent fidèlement les calculs (en latin) de
- Tschirnhaus, « Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione », Acta Eruditorum, mai 1683, p. 204-207 [texte intégral]
- (traduction en anglais : R. F. Green, « A method for removing all intermediate terms from a given equation », ACM SIGSAM Bulletin, vol. 37, no 1, mars 2003 [texte intégral]),
fournissant une autre méthode de résolution des équations du troisième degré que celle de Cardan vue au chapitre 4.
Elle étend celle vue au chapitre 4 qui permet, par translation de la variable, de ramener une équation de degré
à une équation de même degré mais de coefficient nul en degré
. Ce résultat étant acquis, on se contentera d'appliquer la méthode de Tschirnhaus aux équations du troisième degré de la forme
. On écartera le cas trivial
.
Cette méthode est largement généralisable. On en verra un exemple dans la partie Ⅱ, qui donne une méthode pour résoudre les équations de degré 4.
— Ⅰ —
a) Recalculer le résultant
(vu au chapitre 2) dans le cas particulier de deux équations de la forme

en le présentant par puissances décroissantes de
.
Solution
Si
alors
.
Par conséquent, le système

est équivalent au système

et son résultant est :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\beta (-\beta +\alpha ^{2}+p)^{2}-\alpha (-\beta +\alpha ^{2}+p)(\alpha \beta +q)+(\alpha \beta +q)^{2}\\&=(-\beta +\alpha ^{2}+p)\left[\beta (-\beta +\alpha ^{2}+p)-\alpha (\alpha \beta +q)\right]+(\alpha \beta +q)^{2}\\&=(-\beta +\alpha ^{2}+p)(-\beta ^{2}+p\beta -\alpha q)+(\alpha \beta +q)^{2}\\&=\beta ^{3}-2p\beta ^{2}+(p^{2}+p\alpha ^{2}+3q\alpha )\beta +q^{2}-pq\alpha -q\alpha ^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f84629828efe1d1ea129052c15e0215a6852dfe)
b) On cherche à résoudre l'équation
(avec
) en introduisant une variable auxiliaire
et une nouvelle équation, de la forme
. Quelle équation polynomiale (à présenter par puissances décroissantes de
) doit lier les paramètres
,
et
pour que les deux équations

aient une solution commune
?
Solution
D'après la question précédente, la condition est
,
soit
.
Il n'est pas indispensable mais peut être commode pour la suite de remarquer que le terme constant, vue la question précédente, s'écrit aussi :
.
c) Comment
et
doivent-ils être choisis pour que cette équation soit de la forme
?
Montrer qu'alors, avec
défini (au signe près) par
, on a :
;
;
;
.
d) En déduire un algorithme pour résoudre
(avec
).
Solution
On fixe
et
comme ci-dessus, on calcule une racine cubique
de
, et l'on pose
pour
(
). Pour chacune de ces trois valeurs, on calcule les deux solutions de l'équation
, de discriminant
. On obtient ainsi en général 6 valeurs distinctes
, dont les 3 solutions de
font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester les 6 valeurs.
e) Appliquer cet algorithme pour résoudre
.
Solution
Pour
et
, on trouve
.
.
.
.
Les trois solutions de
sont
. Cette équation aurait pu être résolue bien plus rapidement en remarquant la racine évidente (c'est d'ailleurs ce qui nous a permis, en « trichant », de « deviner » les racines carrées des
).
f) On revient au cas général (avec, toujours,
). Démontrer que (pour
choisis comme ci-dessus) les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
.
Que remarque-t-on lorsqu'elles sont satisfaites ?
g) Si
(avec
choisis comme ci-dessus), montrer (en reprenant les calculs du début du devoir) qu'à chacune des trois racines cubiques
de
correspond une solution
de
— s'exprimant comme une fonction homographique de
— et que les trois solutions
ainsi obtenues sont distinctes. (Ceci affine l'algorithme de la question d).)
Solution
D'après les calculs du début du devoir, le système

est équivalent au système

et admet une solution (par choix de
).
D'après la question précédente, si
alors
, donc cette solution est
.
Cette fonction homographique est injective car
.
— Ⅱ —
a) Calculer le résultant des deux équations

en le présentant par puissances décroissantes de
.
Solution
Si
alors
.
Par conséquent, le système

est équivalent au système

et son résultant est :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\beta (2\alpha \beta -\alpha ^{3}-p\alpha +q)^{2}-\alpha (2\alpha \beta -\alpha ^{3}-p\alpha +q)(\beta ^{2}-(p+\alpha ^{2})\beta +r)+(\beta ^{2}-(p+\alpha ^{2})\beta +r)^{2}\\&=(2\alpha \beta -\alpha ^{3}-p\alpha +q)\left[\beta (2\alpha \beta -\alpha ^{3}-p\alpha +q)-\alpha (\beta ^{2}-(p+\alpha ^{2})\beta +r)\right]+(\beta ^{2}-(p+\alpha ^{2})\beta +r)^{2}\\&=(2\alpha \beta -\alpha ^{3}-p\alpha +q)(\alpha \beta ^{2}+q\beta -r\alpha )+(\beta ^{2}-(p+\alpha ^{2})\beta +r)^{2}\\&=\beta ^{4}-2p\beta ^{3}+(p\alpha ^{2}+3q\alpha +p^{2}+2r)\beta ^{2}+(-q\alpha ^{3}-4r\alpha ^{2}-pq\alpha +q^{2}-2pr)\beta +\alpha r(\alpha ^{3}+p\alpha -q)+r^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc67538b5c453eb801ac0b02a1e89d07975797fd)
b) On cherche à résoudre l'équation
(avec
) en introduisant une variable auxiliaire
et une nouvelle équation, de la forme
. Quelle équation polynomiale (à présenter par puissances décroissantes de
) doit lier
,
et
pour que les deux équations

aient une solution commune
?
Solution
D'après la question précédente, la condition est
,
soit

avec
,
,
.
c) Comment
et
doivent-ils être choisis pour que cette équation soit de la forme
?
Exprimer alors
,
,
et
comme des polynômes du second degré en
(on pourra poser
).
d) Déduire de ce qui précède un algorithme pour résoudre
(si
).
Solution
On choisit une solution
de
, on calcule
et
par les formules de la question précédente, et l'on résout l'équation bicarrée
. Pour chaque solution
(
), on résout
, de discriminant
, ce qui donne 2 valeurs
. On obtient au total 8 valeurs
, dont les 4 solutions de
font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs.
e) Résoudre par cet algorithme l'équation :
.
Solution
Pour
,
et
, on a
et
.
Une racine « évidente » de
est
, et l'on trouve alors


.
- Les quatre valeurs pour
sont donc
.






Parmi ces 8 candidats, les 4 solutions de
sont
.
f) Montrer (en reprenant les calculs du début de cette partie) qu'en général, à chacune des quatre solutions
de
correspond une seule solution
de
, s'exprimant comme une fraction rationnelle de
. Vérifier sur l'exemple précédent l'efficacité de cette amélioration de l'algorithme.
Solution
D'après les calculs du début de cette partie, le système

est équivalent au système

- avec
et 
et admet une solution (par choix de
et
).
Si
, cette solution est
.
Remarquons que
et que
(car
).
.
Dans l'exemple précédent,
et
donc
.
Au lieu de calculer (péniblement) quatre
puis de tester 8 candidats
, on trouve ainsi directement la solution
associée à chaque
:

.