Équation différentielle linéaire/Changements de variable

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Introduction

Nous avons présenté les méthodes générales de résolution des équations différentielles ordinaires linéaires. Il arrive parfois qu'une équation différentielle ordinaire n'appartienne pas à cette catégorie. Certaines opérations, comme un changement de variable, permettent parfois de se ramener au cas d'une équation différentielle ordinaire linéaire, donc de la résoudre complètement.

Exemple motivant : inversion

Changement de variable

Soit l'équation différentielle ordinaire suivante :

$f\left(2f'^{2}\right)-f^{2}\left(f''+f'\right)+f^{3}=0$

Quoiqu'homogène, elle semble loin, très loin, d’être linéaire : on voit trois puissances de f. Nous allons tenter un changement de variable pour se ramener, sans approximation, à un cas linéaire. Supposons qu’il existe une fonction u ne s'annulant pas, telle que : $f={\frac {1}{u}}$

Dérivons cette dernière relation pour retrouver $f'$ et $f''$ : $f'=-{\frac {u'}{u^{2}}}$ $f''=-{\frac {u''u^{2}-2uu'^{2}}{u^{4}}}={\frac {2uu'^{2}-u''u^{2}}{u^{4}}}$

Replaçons maintenant ces expressions dans l'équation différentielle, terme par terme pour ne pas prendre peur : $f\left(2f'^{2}\right)=2{\frac {1}{u}}{\frac {u'^{2}}{u^{4}}}=2{\frac {u'^{2}}{u^{5}}}$ et $f^{2}\left(f''+f'\right)={\frac {1}{u^{2}}}\left({\frac {2uu'^{2}-u''u^{2}}{u^{4}}}-{\frac {u'}{u^{2}}}\right)$ et $f^{3}={\frac {1}{u^{3}}}$

Puisqu’il s'agit d'une équation homogène, et que u ne s'annule pas, on peut multiplier tous les termes par $u^{4}$ :

$2{\frac {u'^{2}}{u}}-u^{2}\left({\frac {2uu'^{2}-u''u^{2}}{u^{4}}}-{\frac {u'}{u^{2}}}\right)+u=0$

Développons cette expression :

$2{\frac {u'^{2}}{u}}-{\frac {2u'^{2}}{u}}+u''+u'+u=0$

On obtient donc, les deux premiers termes se neutralisant, une simple équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre deux, à coefficients constants, que l’on sait parfaitement résoudre :

$u''+u'+u=0$

Résolution

On n'a pas encore gagné pour autant ! En effet, l'hypothèse fondamentale que l’on a fait était que u ne s'annulait pas, il convient de vérifier cela. Le problème vient du régime permanent : d’après les théorèmes de stabilité du chapitre 2, on a :

$\lim _{t\to \infty }u=0$.

L'autre problème éventuel viendrait des éventuelles oscillations de u autour de cette position d'équilibre, qui amèneraient à de nombreuses violations de notre hypothèse. Enfin, si les conditions initiales sont nulles, alors u est identiquement nulle — mais cela revient à des conditions initiales infinies pour f, ce qui est physiquement discutable.

Le polynôme caractéristique de la matrice associée au problème est : $x^{2}+x+1=0$, il admet deux racines complexes conjuguées :

$r=-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Donc... il a des oscillations, de période propre $\scriptstyle T=4\pi /{\sqrt {3}}$. Au bout d'un temps inférieur ou égal à celui d'une période, selon les conditions initiales, f diverge. On ne peut rien dire au delà, nos hypothèses n'étant plus vérifiées. Le problème de la limite à l'infini est donc loin d’être le plus urgent.

En conclusion, selon les conditions initiales, plus ou moins favorables, nous avons trouvé une solution à l'équation de départ sur un ouvert de mesure ${\frac {4\pi }{\sqrt {3}}}$ :

$u(t)=Ae^{-{\frac {t}{2}}}\cos({\frac {\sqrt {3}}{4\pi }}t+\phi )$

Sur l'ouvert où u ne s'annule pas, on a ainsi :

$f(t)={\frac {\sqrt {e^{t}}}{A\cos({\frac {\sqrt {3}}{4\pi }}t+\phi )}}$

Les paramètres A et φ étant fixés par les conditions initiales, A étant non-nul.

Remarques

Bien qu'ayant désormais une solution à l'équation différentielle, elle n'est que partielle. Lorsqu'on effectuera des changements de variable, et tant que ce sera possible, il faudra en effet imposer que celui-ci se fasse par un Cⁿ-difféomorphisme sur l'ouvert de définition de l'équation, où n est l’ordre de l'équation, ce que nous préciserons plus loin.

Clairement, notre changement de variable ne l'était pas. Et malheureusement, cela limite ici fortement la résolution. Dans des cas plus agréables, une résolution complète sera possible.

La méthode d'inversion est toutefois utile en physique, elle est à la base de formules réelles, comme les célèbres formules de Binet.

Définitions

Définitions

Une fonction différentiable et bijective dont la réciproque est également différentiable est appelée difféomorphisme.

Une fonction de classe C^k, bijective donc la réciproque est également C^k est appelée C^k-difféomorphisme.

Équation de Bernoulli

L'équation différentielle non-linéaire suivante, où m est un constante réelle différente de 0 et 1, est appelée « équation de Bernoulli » : $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)y(x)^{m}\;$

On peut la ramener à une équation différentielle ordinaire linéaire du premier ordre, que l’on sait résoudre, par changement de variable. C’est la démarche historique qu'utilisa Leibniz en 1696 pour le même problème. L'hypothèse de départ est que y est strictement positive, alors on peut diviser pour écrire :

${\frac {y'(x)}{y^{m}(x)}}+a(x){\frac {1}{y^{m-1}}}=b(x)$

On pose alors :

$u(x)={\frac {1}{y^{m-1}(x)}}$

Ce qui ramène notre équation sur y à une équation sur u :

${\frac {1}{1-m}}u'(x)+a(x)u(x)=b(x)$

On sait résoudre cette dernière équation avec les outils du premier chapitre, on vérifie l’existence éventuelle de solutions strictement positives, auquel cas on a résolu le problème.

Équations d'Euler

Une « équation d'Euler » est une équation différentielle linéaire de la forme : $a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{0}y(x)=0\qquad (a_{n}\neq 0)$

On peut se ramener à une équation à coefficients constants en effectuant un changement de variable : $x=e^{u}$. Pour illustrer cela, considérons l'équation d'Euler d'ordre 2 :

$a_{2}x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{0}y=0$

On se place sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, pour pouvoir diviser par x² :

$a_{2}y''+a_{1}{\frac {y'}{x}}+a_{0}{\frac {y}{x^{2}}}=0$

Le changement de variable $x=e^{u}$ donne :

$y(x)=y(e^{u})$

$y'(x)/x=y'(e^{u})$

$y''(x)/x^{2}=y''(e^{u})-y'(e^{u})$

L'équation à résoudre est donc :

$a_{2}y''+(a_{1}-a_{2})y'+a_{0}y=0$

Ce que l’on sait faire avec les outils du chapitre 2 ou du chapitre 5, sans problème. Une solution y(t) étant trouvée, il suffira de prendre y(ln t).