Équation différentielle/Fiche/Équation différentielle du premier ordre

Fiche mémoire sur les équations différentielles du premier ordre

Équations linéaires à coefficients variables et second membre variable

Soit une équation linéaire du premier ordre définie de la façon la plus générale :

$a(x)y'+b(x)y=c(x)$

Avec :

• $a(x),b(x),c(x)$ : fonctions réelles (ces variables peuvent également être des nombres constants). Le terme $a(x)$ doit toujours être différent de 0.

• $y'$ : dérivée première de la fonction $y$.
• $y$ : fonction dont il faut trouver l'expression en prenant en compte tous les autres éléments de l'équation. Pour cela, chercher, exprimer et additionner les deux solutions (particulière et générale).

Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant $y$, on sous-entend $y(x)$.

Équation linéaire sans second membre

L'équation linéaire sans second membre est définie par :

$ESSM(x):a(x)y'+b(x)y=0$

La solution générale de cette équation est définie par l'expression suivante :

$Y_{ESSM}=Ke^{-\Phi (x)}$

Avec :

• $K$ : Constante (nombre réel)

• $\Phi (x)=\int {\frac {b(x)}{a(x)}}dx$

Équation linéaire avec second membre

L'équation linéaire avec second membre est définie par :

$(E):a(x)y'+b(x)y=c(x)$

Une solution particulière de cette équation est définie par l'expression suivante :

$Y_{p}=g(x)e^{-\Phi (x)}$

Avec :

• $g(x)=\int {c(x) \over a(x)}e^{\Phi (x)}dx$

Ensemble des solutions d'une équation différentielle du 1er ordre à coefficients et second membre variables

Une équation différentielle du 1er ordre à coefficients et second membre variables admet l'ensemble des solutions suivant :

${\begin{aligned}y(x)&=Y_{ESSM}(x)+Y_{p}(x)\\&=[K+g(x)]e^{-\Phi (x)}\\\end{aligned}}$