Équation différentielle/Fiche/Équation différentielle du premier ordre

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Fiche mémoire sur les équations différentielles du premier ordre
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Sans second membre[modifier | modifier le wikicode]

Soit une équation générale du type

Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant , on sous-entend .
Il faut s'en souvenir, car on en aura besoin à un moment.

On la transforme afin d’avoir la dérivée de la fonction d’un côté du signe égal, et la fonction elle-même de l'autre côté, ce qui donne :

Ensuite, on passe la fonction et sa dérivée du même côté du signe égal, les constantes de l'autre. On obtient alors :

Afin de simplifier les calculs suivants, on introduit C tel que :

Et on a alors :

On a vu dans le chapitre sur les dérivées que :

Panneau d’avertissement Et là, il faut faire attention, car la fonction logarithme n’est pas définie partout, mais seulement pour .

Si on reprend ce que l’on vient d'écrire, on a donc :

Si on intègre l'équation, il faut faire attention à la variable de la fonction de y que l’on n'a pas écrite.
Rappelez-vous ce que nous avons dit au départ : "ainsi en écrivant , on sous-entend .". Donc en fait, on a ici :

Après intégration, on obtient :

Puisque l’on ne veut qu'y(x) à gauche, il faut éliminer le logarithme en mettant l'équation à l'exponentielle :

Donc :

Il ne reste qu’à connaître un point précis de la fonction y à un x donné pour que l’on puisse fixer la constante.

Avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

Soit une équation générale du type

Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant , on sous-entend .
Il faut s'en souvenir, car on en aura besoin à un moment.

Pour la résoudre facilement, on va faire 2 opérations.
On la transforme pour avoir une équation de type sans second membre, soit :

Et pour résoudre cela, il faut voir le paragraphe précédent qui est clairement expliqué. On obtient donc comme résultat :

mais ce n’est pas fini puisqu'on a fait qu'une solution particulière.

pour cela, on transforme l'équation en :

et on essaie de la résoudre en reprenant la première équation