Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme locale

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En exprimant la forme globale

$\int \int {\int }_V(\frac{\partial (\rho \overrightarrow{v})}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}}(\rho \overrightarrow{v}\otimes \overrightarrow{v}))\mathrm{d}V=\int \int {\int }_V\overrightarrow{f_V}\mathrm{d}V+\int \int {\int }_V\overrightarrow{\text{div}}\overline{\stackrel{‾}{\mathrm{\tau }}}\mathrm{d}V$,

il vient la forme conservative de l'équation de bilan de la quantité de mouvement :

$\frac{\partial (\rho \overrightarrow{v})}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}}(\rho \overrightarrow{v}\otimes \overrightarrow{v})=\overrightarrow{f_V}+\overrightarrow{\text{div}}\overline{\stackrel{‾}{\mathrm{\tau }}}$,

qui peut aussi s'exprimer sous sa forme non-conservative :

$\rho \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{f_V}+\overrightarrow{\text{div}}\overline{\stackrel{‾}{\mathrm{\tau }}}⟺\rho \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\rho (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}})\overrightarrow{v}=\overrightarrow{f_V}+\overrightarrow{\text{div}}\overline{\stackrel{‾}{\mathrm{\tau }}}$.

Il est également commode d'écrire cette équation avec la notation indicielle d'Einstein :

$\rho \frac{\partial v_i}{\partial t}+\rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=f_{Vi}+\frac{\partial {\tau }_{ij}}{\partial x_j}$

Avec une somme sur chaque j, et ${\tau }_{ij}$représente la composante i,j du tenseur des contraintes visqueuses.

Remarque : $f_{Vi}$contient différentes contributions. Notamment la pesanteur et les forces de pression. En l'absence d'autres forces volumiques, elle s'écrit de cette manière : $f_{vi}=\rho g_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}$