Électrostatique des conducteurs/Conducteur en équilibre électrostatique

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Définition

Un conducteur est un milieu où les charges électriques sont susceptibles de se déplacer.

Équilibre électrostatique

Définitions

Définition

Soit un conducteur dans lequel la moyenne des vitesses des particules chargées est $<{\vec {v}}>$. Ce conducteur est en équilibre électrostatique lorsque $<{\vec {v}}>={\vec {0}}$.

Caractère équipotentiel

Propriété

Dans un conducteur en équilibre électrostatique, ${\vec {E}}={\vec {0}}$.

Comme ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$, V est constant.

Démonstration

Soit une charge ponctuelle q du conducteur. Cette charge est soumise à une force ${\vec {f}}=q{\vec {E}}={\vec {0}}$ car elle est immobile. Donc ${\vec {E}}=0$

 

Répartition des charges

Propriété

Soit un conducteur dont la densité volumique de charge en un point est notée $\rho$. Alors, dans un conducteur en équilibre électrostatique, $\rho =0~$

Démonstration

Soit M un point du conducteur, entouré par une surface fermée Σ de volume V incluse dans le conducteur.

$0=\oint {\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {\rm {dS}}}=\int _{V}{\rm {div}}({\vec {E}})\,\mathrm {d} \tau =\int _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon }}\,{\rm {d\tau }}$

Donc $\forall V\subset {\textrm {Conducteur}},~\int _{V}\rho \,{\rm {d\tau =0}}$, donc $\rho =0~$

 

Cela implique que, si un conducteur est chargé, il l'est en surface et non à l'intérieur.

Champ électrostatique au voisinage d'un conducteur

Théorème de Coulomb

Soit un conducteur de surface Σ. On veut calculer le champ en un point M infiniment proche de Σ.

On construit une surface fermée s'appuyant sur un tube de champ à l'extérieur du conducteur et quelconque à l'intérieur, de hauteur d²h et de section extérieure d²S.

Par le théorème de Gauss, ${\frac {\sigma \,\mathrm {d} ^{2}S}{\varepsilon }}={\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}$

Début d’un théorème

Théorème de Coulomb

Au voisinage immédiat de Σ : ${\vec {E}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}{\vec {n}}$ où ${\vec {n}}$ est un vecteur unitaire normal à Σ et dirigé vers l'extérieur de Σ.

Fin du théorème